Преобразовать линейное дифференциальное в частных производных к каноническому виду. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Преобразовать линейное дифференциальное в частных производных к каноническому виду

Преобразовать линейное дифференциальное в частных производных к каноническому виду .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

«Преобразовать линейное дифференциальное в частных производных к каноническому виду» ∂2u∂x2-6∂2u∂x∂y+5∂2u∂y2+2∂u∂x-∂u∂y=0

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Имеем:
A=1;B=-62=-3;C=5
Т.к. B2-AC=4>0, то наше уравнение – гиперболического типа.
Записываем уравнение характеристик:
(dy)2+6dxdy+5dx2=0
dydx2+6dydx+5=0
dydx=-6±42
Получили
dydx=-1;dydx=-5
Находим решения полученных дифференциальных уравнений:
dydx=-1
dy=-dx
Интегрируя:
dy=-dx
y=-x+c1
y+x=c1
Аналогично для dydx=-5 получаем:
y+5x=c2
Вводим новые переменные α и β:
α=y+xβ=y+5x
Находим частные производные:
αx=1; αy=1 βx=5; βy=1
Учитывая это, имеем:
ux=uααx+uββx=uα+5uβ
uy=uααy+uββy=uα+uβ
uxx=∂ux∂α∂α∂x+∂ux∂β∂β∂x=
=1∙uαα+5uβα+5∙uαβ+5uββ=uαα+10uαβ+25uββ
uxy=∂ux∂α∂α∂y+∂ux∂β∂β∂y=
=1∙uαα+5uβα+1∙uαβ+5uββ=uαα+6uαβ+5uββ
uyy=∂uy∂α∂α∂y+∂uy∂β∂β∂y=1∙uαα`+uβα+1∙uαβ+uββ=uαα`+2uαβ+uββ
Подставляем найденные производные в первоначальное уравнение:
uαα+10uαβ+25uββ-6uαα+6uαβ+5uββ+5uαα`+2uαβ+uββ+2uα+5uβ-uα+uβ=0
Раскрывая скобки и приводя подобные:
-16uαβ+uα+9uβ=0
И записываем в каноническом виде:
uαβ=uα+9uβ16

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу