Преобразование чисел. Двоичная арифметика

Запишем свою Фамилию Имя Отчество без пробелов: НечаевАнтонСергеевич.
Возьмем первые 12 символов из этой последовательности и получим следующую последовательность символов: НечаевАнтонС. Используя таблицу ASCII-кода представим каждый символ в виде младшего разряда Hex кода.
Н е ч а е в А н т о н С
D 5 7 0 5 2 0 D 2 E D 1
Разобьем получившуюся последовательность на три части по 4 цифры в каждой:
D 5 7 0
5 2 0 D
2 E D 1
Будем рассматривать получившиеся числа как три четырехразрядных числа в шестнадцатеричной системе счисления.
Переведем данные числа в десятичную систему счисления, используя развернутую запись числа по формуле:
A=an∙pn+an-1∙pn-1+…+a1∙p1+a0∙p0,
где p – основание исходной системы счисления, в нашем случае мы переводим из шестнадцатеричной системы счисления, т.е. p=16, an – цифра исходного числа.
Переведем первое число:
a1 = D57016 = 13163 + 5162 + 7161 + 0160 = 134096 + 5256 + 716 + 01 = 53248 + 1280 + 112 + 0 = 5464010
Переведем второе число:
a2 = 520D16 = 5163 + 2162 + 0161 + 13160 = 54096 + 2256 + 016 + 131 = 20480 + 512 + 0 + 13 = 2100510
Переведем третье число:
a3 = 2ED116 = 2163 + 14162 + 13161 + 1160 = 24096 + 14256 + 1316 + 11 = 8192 + 3584 + 208 + 1 = 1198510
Переведем полученные шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления, сопоставив каждой цифре Hex-кода 4 цифры двоичного кода.
Переведем первое число a1:
D16 =11012; 516 =01012; 716 =01112; 016 =00002.
Получаем D57016 = 1101 0101 0111 00002.
Переведем второе число a2:
516 =01012; 216 =00102; 016 =00002; D16 =11012.
Получаем 520D 16 = 0101 0010 0000 11012.
Переведем третье число a3:
216 =00102; E16 =11102; D16 =11012; 116 =00012.
Получаем 2ED116 = 0010 1110 1101 00012.
Для последующих арифметических операций образуем из исходных чисел двоичные числа А и В с нулевым старшим битом . Заменим в исходном первом числе старший бит на ноль.
Преобразуя числа, получим:
число А = 0101 0101 0111 0000 = 21872
число В = 0101 0010 0000 1101 = 21005
Выполним действия сложения (вычитания) двоичных чисел при всех возможных сочетаниях знаков слагаемых, для этого представим числа –А и –В в дополнительном коде, используя следующее правило:
Адоп = Аобр + 1, если число отрицательное
Сложение двоичных чисел А + В
+ 21872 + 0101 0101 0111 0000
21005
0101 0010 0000 1101
42877
1010 0111 0111 1101
При сложении двух положительных чисел сумма – отрицательное число (в знаковом разряде 1).
Мы получили неверный результат при сложении. Это произошло из-за переполнения разрядной сетки АЛУ, возникшего при выполнении действия А + В. Чтобы избежать переполнения, нужно увеличить разрядность АЛУ, т.е. каждое из положительных чисел дополнить нулем слева.
+ 0 0101 0101 0111 0000
0 0101 0010 0000 1101
0 1010 0111 0111 1101
Проверка:
Результат сложения переведем в двоичную систему счисления:
4287710 = 0 1010 0111 0111 11012
Данный результат сложения чисел +А + В совпал с результатом сложения этих же чисел в десятичной системе счисления, произведенным выше.
После корректировки разрядности АЛУ получаем представление чисел в дополнительном коде:
А = 0 0101 0101 0111 0000
В = 0 0101 0010 0000 1101
Адоп = 1 1010 1010 1001 0000
Вдоп = 1 1010 1101 1111 0011
Вычитание двоичных чисел А - В
- 21872 + 0 0101 0101 0111 0000
21005
1 1010 1101 1111 0011
867
(1) 0 0000 0011 0110 0011
Проверка:
Результат переведем в двоичную систему счисления и запишем его в дополнительном коде:
86710 = 0 0000 0011 0110 00112
Данный результат совпал с дополнительным кодом разности чисел +А – В, полученным ранее.
Вычитание двоичных чисел В - А
- 21005 + 0 0101 0010 0000 1101
21872
1 1010 1010 1001 0000
- 867
1 1111 1100 1001 1101
Проверка:
Результат переведем в двоичную систему счисления и запишем его в дополнительном коде:
-86710 = 1 0000 0011 0110 00112
Аобр = + 1111 1100 1001 1100
0000 0000 0000 0001
Адоп =
1 1111 1100 1001 1101 = -867
Данный результат совпал с дополнительным кодом разности чисел +В – А, полученным ранее