Представить заданную функцию w=ƒ(z) где z = x + iy

Для проверки того, является ли функция аналитической и дифференцируемой, воспользуемся условиями Коши-Римана. Для этого с помощью формулы z=x+iy представим заданную функцию в виде fx+iy =ux,y+ivx,y. Имеем:
fz=zez=x+iy ∙ex+iy=x+iy ∙ex∙cosy+isiny=
=xexcosy+iyexcosy+ixexsiny+i2yexsiny=
=ex∙xcosy-ysiny+iex∙ycosy+xsiny=
=ux,y+ivx,y=fx+iy .
откуда получаем
ux,y=ex∙xcosy-ysiny,
vx,y=ex∙ycosy+xsiny .
Найдем все частные производные этих функций:
∂u∂x=ex∙xcosy-ysiny+ex∙cosy=ex∙xcosy-ysiny+cosy;
∂u∂y=ex∙-xsiny-siny-ycosy;
∂v∂x=ex∙ycosy+xsiny+ex∙siny=ex∙ycosy+xsiny+siny;
∂u∂y=ex∙cosy-ysiny+xcosy.
Теперь проверим выполнение условий Коши-Римана:
∂u∂x=∂u∂y=ex∙xcosy-ysiny+cosy;
∂u∂y=-∂v∂x=-ex∙ycosy+xsiny+siny.
Так как условия Коши-Римана выполняются для любых x и y, то функция fz=zez является аналитической и дифференцируемой на всей комплексной плоскости