Предприятие планирует производство двух видов изделий, используя три вида сырья

Составим задачу линейного планирования (ЗЛП).
Математической моделью для анализа заданной проблемы и ответа на поставленный вопрос является следующая задача линейного планирования.
Обозначим
x1 – количество планируемых в производству изделий первого вида;
x2 – количество планируемых в производству изделий второго вида;
П или Pr – прибыль предприятия.
Прибыль П предприятия вычислим по формуле
П=TR-TC,
где TR=P1∙x1+P2∙x2 – доходы,
TC=FC+VC1∙x1+VC2∙x2 – общие издержки;
П=P1∙x1+P2∙x2-FC+VC1∙x1+VC2∙x2=P1-VC1∙x1+P2-VC2∙x2-FC.
Обозначим M1=P1-VC1, M2=P2-VC2, тогда
П=M1∙x1+M2∙x2-FC.
Тогда прибыль предприятия запишется в виде:
П=21-5∙x1+32-10∙x2-42,
П=16x1+22x2-42.
Так как запасы сырья ограничены, то система ограничений примет вид:
13x1+25x2≤3255x1+46x2≤265101x1+20x2≤2020.
Условие неотрицательности решения: x1≥0, x2≥0.
Таким образом, математическая модель задачи примет вид:
П=16x1+22x2-42→max
13x1+25x2≤3255x1+46x2≤265101x1+20x2≤2020
x1≥0, x2≥0.
Решим построенную задачу линейного программирования графическим методом
Строим границы области допустимых решений
l1: 13x1+25x2=325
x1
13 0
x2
0 25
l2: 5x1+46x2=265
x1
53 7
x2
0 5
l3: 101x1+20x2=2020
x1
20 0
x2
0 101
Строим линию уровня П=16x1+22x2 и ее вектор нормали n=16;22 . Так как задача на максимум, то линию уровня будем перемещать в сторону вектора нормали. Последняя точка из ОДР – это и будет точка, в которой целевая функция принимает максимальное значение.
OABCD – область допустимых решений.
Последняя точка из области допустимых решений – это точка C (пересечение прямых l1 и l3. Вычислим ее координаты:
13x1+25x2=325101x1+20x2=2020∙(-20)∙25⇒-260x1-500x2=-65002525x1+500x2=50500⇒2265x1=440020x2=2020-101x1⇒x1=19,43x2=2,9.
Оптимальное решение исходной задачи: X*=19,43;2,9, Пmax=16∙19,43+22∙2,9-42=332,58.
Таким образом, максимальная прибыль предприятия составит 332,58 ден