Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов

Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество изделий вида А, шт, х2 - количество изделий вида В, шт запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (2 х1 +х2) единиц сырья типа I, (х1 +х2) единиц сырья II типа,
(2х1 +5х2) единиц сырья III типа. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
2x1+х2≤16x1+х2≤92x1+5x2≤30
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль составит 8х1 от реализации продукции А и 9х 2 от реализации продукции В, то есть : F = 8х1 +9х 2. →max.
Решим полученную задачу линейного программирования графически:
Построим на плоскости пять прямых, соответствующих данным ограничениям:
; ; .
Прямые , и построим по двум точкам, на листе клетчатой бумаге. Прямые и соответствуют координатным осям. Очевидно, что данная система неравенств определяет на плоскости многоугольник допустимых решений (в данном случае многоугольник ОABCD, см. рисунок.
Найдем координаты всех вершин этого пятиугольника, составив соответствующие системы линейных уравнений и решив их
; ; ;
;
В результате получим следующие точки:
O(0,0), A(0,6), B(5,4), C(7,2), D(8,0).
Построим вектор , координатами которого являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции z (начало вектора можно взять в любой точке).
Очевидно, что целевая функция при всевозможных значениях z определяет на плоскости свойство параллельных прямых, перпендикулярных вектору , поэтому максимальное значение z на множестве допустимых решений (то есть оптимальное решение) соответствует такой прямой из этого семейства, которая во – первых, как можно дальше расположена от начала координат, а, во – вторых, имеет хотя – бы одну общую точку с многоугольником допустимых решений (эта прямая l называется опорной).
Построим опорную прямую l . В данном случае она проходит через вершину В(5,4), поэтому координаты этой точки дают оптимальное решение исходной ЗЛП.
Таким образом,, , .
Итак, для получения оптимальной прибыли в размере 76 (руб.) необходимо выпустить 5 (ед.) продукции А и 4 (ед.) продукции В.
Решим полученную задачу линейного программирования симплекс-методом:
Шаг 1. Определение возможности решения ЗЛП симплекс – методом.
Для того, чтобы ЗЛП решить симплекс – методом, необходимо в системе от неравенств перейти к равенствам. Для этого, вводим фиктивные переменные , , . Получаем расширенную ЗЛП:
;
Эта задача может быть решена симплекс – методом, так в ней число переменных 5 больше числа ограничений 3 и столбец свободных членов содержит только положительные числа.
Шаг 2. Получение канонической формы записи ЗЛП.
В нашем случае каноническая форма записи ЗЛП имеет вид:
;

Шаг 3. Определение базиса.
Определим векторы - , координаты которых соответствуют столбцу коэффициентов при неизвестных в системе :
, , , , .
Система содержит m=3 ограничения, поэтому среди векторов
- необходимо в качестве базисных выбрать три вектора