Предприятие выпускает два вида продукции

Составим математическую модель задачи. Обозначим: x1 – количество выпускаемых изделий первого вида, x2 количество выпускаемых изделий второго вида. Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на x1 и x2, учитывающие запасы сырья каждого:
F=4x1+8x2→max
2x1+3x2≤10,x1+5x2≤20,x1, x2≥0
Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения x1, x2, удовлетворяющие неравенствам для которых функция достигает max. Полученная задача – стандартная задача линейного программирования.
1) Решим данную задачу линейного программирования графическим методом:
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F=4x1+8x2→max.
Построим прямую, отвечающую значению функции 4x1+8x2=0 . Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4;8). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+3x2=10x1=0
x2=103x1=0
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F=4*0+8*103=803≈26.672) Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2x1+3x2+x3=10x1+5x2+x4=20
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4.
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0=0, 0, 10, 20
Базис B x1
x2
x3
x4
x3
10 2 3 1 0
x4
20 1 5 0 1
FX0
0 -4 -8 0 0
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: biai2и из них выберем наименьшее:
min 10 : 3 , 20 : 5 = 313
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1
x2
x3
x4
min
x3
10 2 3 1 0 10/3
x4
20 1 5 0 1 4
FX1
0 -4 -8 0 0
Формируем следующую часть симплексной таблицы