Предприятие может производить четыре вида изделий A

Составим математическую модель задачи
х1 – количество выпускаемой продукции А
х2 – количество выпускаемой продукции В
х3 - – количество выпускаемой продукции С
х4 -– количество выпускаемой продукции D
Так как запасы ресурсов ограничены, то составим неравенства системы ограничений
4,4x1+ 3,4x2+2,4 x3+5,4x4≤4146,4x1+6,4x2+ 5,4x3+2,4x4 ≤5145,4x1+ 2,4x2+8,4x3+ 3,4x4 ≤394х1, х2, х3, х4≥0
По своему экономическому содержанию переменные х1, х2, х3, х4 могут принимать только неотрицательные значения.
F = 9,8x1 + 6,8x2 + 8,8x3 + 13,8x4 → max - целевая функция (прибыль от производства выпущенной продукции)
Получили задачу линейного программирования – при имеющихся запасах ресурсов и прибыли за единицу продукции, составить такой план, чтобы получить наибольший доход.
Введем дополнительные переменные х5, х6, х7 – количество неиспользованных ресурсов. Запишем эту задачу в канонической форме
4,4x1+ 3,4x2+2,4 x3+5,4x4+x5=4146,4x1+6,4x2+ 5,4x3+2,4x4+x6=5145,4x1+ 2,4x2+8,4x3+ 3,4x4+x7=394xi≥0 i=1,2,3,4,5,6,7
F = 9,8x1 + 6,8x2 + 8,8x3 + 13,8x4
Решим задачу симплекс-методом. Составим первую симплексную таблицу.
В качестве базисных переменных выберем переменные х5, х6, х7, так как они входят только в одно уравнение и с единичным коэффициентом. Составим первый опорный план.
Базис хi
В х1 х2 х3 х4
х5 х6 х7
х5 414 4,4 3,4 2,4 5,4 1 0 0
х6 514 6,4 6,4 5,4 2,4 0 1 0
х7 394 5,4 2,4 8,4 3,4 0 0 1
F 0 -9,8 -6,8 -8,8 -13,8 0 0 0
Данный план не оптимален, т. к. в индексной строке имеются отрицательные элементы.
Итерация 1
В качестве ведущего столбца возьмем столбец с наибольшим по модулю значением. Это четвертый столбец (выделим цветом) max-9,8, -6,8, -8,8, -13,8=13,8
Для определения ведущей строки разделим столбец В на элементы ведущего столбца и найдем наименьшее значение (делим на положительные числа) min{4145,4, 5142,4,3943,4 }=76,6
Первая строка будет ведущей (выделим цветом )
На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит разрешающий элемент 5,4
Пересчитаем симплекс-таблицу: в новом плане вместо переменной х5, в новый план войдет переменная х4, ведущую строку разделим на 5,4, на месте разрешающего элемента запишем 1, в остальных клетках столбца х4 запишем нули, остальные элементы таблицы пересчитаем по правилу прямоугольника
В индексной строке:
-9,8--13,8*4,45,4=1,44 -6,8--13,8*3,45,4=1,89
-8,8--13,8*2,45,4=-2,67 0--13,8*15,4=2,56
0--13,8*05,4=0 0--13,8*05,4=0
В столбце В:
514-2,4*4145,4=330 394-3,4*4145,4=133,33
0-(-13,8)*4145,4=1058
Базис хi
В х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
Х4 76,67 0,81 0,63 0,44 1 0,19 0 0
х6 330 4,44 4,89 4,33 0 -0,44 1 0
х7 133,33 2,63 0,26 6,89 0 -0,63 0 1
F 1058 1,44 1,89 -2,67 0 2,56 0 0
Данный план не оптимален, т. к. в индексной строке имеются отрицательные элементы.
Итерация 2
В качестве нового ведущего столбца возьмем столбец с наибольшим по модулю отрицательным значением. Это столбец х3 (выделим цветом)
Для определения ведущей строки разделим столбец В на элементы ведущего столбца и найдем наименьшее значение (делим на положительные числа) min{76,670,44, 3304,33, 133,336,89}=19,35
третья строка будет ведущей (выделим цветом )
На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит разрешающий элемент 6,89
Пересчитаем симплекс-таблицу: в новом плане вместо переменной х7, в новый план войдет переменная х3, ведущую строку разделим на 6,89, на месте разрешающего элемента запишем 1, в остальных клетках столбца х3 запишем нули, остальные элементы таблицы пересчитаем по правилу прямоугольника
Базис хi
В х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
Х4 68,06 0,65 0,61 0 1 0,23 0 -0,065
х6 246,13 2,79 4,73 0 0 -0,048 1 -0,63
Х3 19,35 0,38 0,038 1 0 -0,091 0 0,15
F 1109,61 2,46 1,99 0 0 2,31 0 0,39

В индексной строке нет отрицательных элементов, поэтому данный план будет оптимальным, нет необходимости пересчитывать все элементы таблицы.
Получаем:
х1=0, х2=0, х3=19,35, х4=68,06 - план выпуска
х5=0, х6=246,13, х7=0, – остатки ресурсов
F = 9,8*0+ 6,8*0 + 8,8*19,35 + 13,8*68,06=1109,51 – максимальная прибыль
х5=0, х6=246,13, х7=0, – остатки неиспользованного сырья
Так как х1=0, х2=0, то производство продукции А и В невыгодно.
В условиях этой задачи требуется дать оценку каждому ресурсу . Оценка ресурса должна показывать, насколько увеличится прибыль, если количество ресурса увеличить на единицу. Проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у1, y2, y3) минимизирующий общую оценку всех ресурсов
Установим соответствие между переменными
x1,x2,x3,x4 - основные переменные x5,x6,x7 дополнительные y5,y6,y7дополнительные переменные y1,y2,y3,y4-основные
Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
4,4y1+ 6,4y2+5,4 y3≥9,83,4y1+ 6,4y2+2,4 y3≥6,82,4y1+ 5,4y2+8,4 y3≥8,85,4y1+ 2,4y2+3,4 y3≥13,8yi≥0 i=1,2,3
W= 414y1 + 514y2 + 394y3 → min
Используя последнюю итерацию прямой задачи, найдем, оптимальный план двойственной задачи.
y1=2,31, y2=0, y3=0,39
Z(Y) = 414*2,31+514*0+394*0,39 = 1109,51
4) Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
4,4*0 + 3,4*0 + 2,4*19,35 + 5,4*68,06 = 414 = 414
6,4*0 + 6,4*0 + 5,4*19,35 + 2,4*68,06 = 267,87 < 514
5,4*0 + 2,4*0 + 8,4*19,35 + 3,4*68,06 = 394 = 394
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-й ресурс (чугун) полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1≠ 0).
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида (сталь) израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y2= 0.
Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет
246,13= (514 - 267,87).
3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-й ресурс (использование оборудования) полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3≠ 0).
При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
4,4*2.31 + 6,4*0 + 5,4*0.39 = 12,27 > 9,8
3,4*2,31 + 6,4*0 + 2,4*0,39 = 8,79 > 6,8
2,4*2,32 + 5,4*0 + 8,4*0.39 = 8,8 = 8,8
5,4*2,31 + 2,4*0 + 3,4*0.39 = 13,8 = 13,8
1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. продукцию А производить экономически не выгодно. Также, в оптимальном плане прямой задачи x1= 0