ПР НСВ X задана следующим образом

1) найдем коэффициент A исходя из того, что
-∞∞pxdx=1
-∞∞pxdx=-π2π2A cos2x dx=-π2π2A 1+cos2x2 dx=A2-π2π2 dx+A2-π2π2cos2x2 d2x=
=Ax2-π2π2+A4sin2x-π2π2=Aπ4--Aπ4+A4sinπ-A4sin-π=Aπ2
Aπ2=1 ⟹A=2π
2) найдем функцию распределения F(x).
Fx=-∞xpzdz=
для x от -π2 до π2
=-π2x2πcos2zdz=1π-π2x(1+cos2z)dz=1π-π2xdz+1π-π2xcos2zd2z2=
=1π-π2xdz+1π-π2xcos2zd2z2=zπ-π2x+sin2z2π-π2x=xπ+12+sin2x2π-0=
=2x+π+sin2x2π
Fx=0, x<-π22x+π+sin2x2π, -π2≤x≤π21, x>π2
3) Найдем математическое ожидание распределения
EX=-∞∞x pxdx=-π2π2x 2πcos2xdx=1π-π2π2x (1+cos2x)dx=
=1π-π2π2x dx+1π-π2π2x cos2xdx=x22π-π2π2+12π-π2π2x d(sin2x)=
=0+12πxsin2x-π2π2-12π-π2π2sin2x dx=12πxsin2x-π2π2+14πcos2x-π2π2=
=0-0+-14π+14π=0
EX=0
4) Найдем дисперсию распределения
DX=EX2-(EX)2=-∞∞x2 pxdx-0=2π-π2π2x2 cos2xdx=1π-π2π2x2 (1+cos2x)dx=
=1π-π2π2x2 dx+1π-π2π2x2 cos2xdx=x33π-π2π2+1π-π2π212x2 d(sin2x)=
=x33π-π2π2+x2sin2x2π-π2π2-12π-π2π2sin2x dx2=π212+0-12π-π2π22xsin2x dx=
=π212+12π-π2π2x d(cos2x)=π212+xcos2x2π-π2π2-12π-π2π2cos2x dx=
=π212-12-sin2x4π-π2π2=π212-12≈0.32
DX≈0.32
5)
P0<x<π4=Fπ4-F0=2π4+π+sin2π42π-2∙0+π+sin2∙02π=
=π2+π+12π-π2π=14+12π≈0.41
6) построим графики
p(x)
35471103197225π4
00π4
Красным заштрихована область от 0 до π4, площадь которой равна вероятности
P0<x<π4
F(x)
35185352999740π4
00π4
Красной стрелкой показана вероятность
P0<x<π4
Ответ: 1) A=2π
2) Fx=0, x<-π22x+π+sin2x2π, -π2≤x≤π21, x>π2
3) EX=0
4) DX≈0.32
5) P0<x<π4≈0.41