Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи

1) Построим поле корреляции результативного и факторного признаков.
Определим параметры уравнения парной линейной регрессии.
Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК):
, где
a и b –оценки параметров модели.
Величины, минимизирующие суммы квадратов отклонений от для случая парной линейной регрессии, находятся как:
; .
Расчет необходимых данных лучше всего организовать в таблице. Для нашего примера таблица будет выглядеть следующим образом:
N/N х у
1 5 3 -0,4300 -0,2500 0,1075 0,1849 2,9331 -0,0669
2 4,5 2,6 -0,9300 -0,6500 0,6045 0,8649 2,5647 -0,0353
3 4,2 1,5 -1,2300 -1,7500 2,1525 1,5129 2,3436 0,8436
4 7,5 3,4 2,0700 0,1500 0,3105 4,2849 4,7754 1,3754
5 3,5 1,8 -1,9300 -1,4500 2,7985 3,7249 1,8278 0,0278
6 6,2 5 0,7700 1,7500 1,3475 0,5929 3,8174 -1,1826
7 7,7 5,2 2,2700 1,9500 4,4265 5,1529 4,9228 -0,2772
8 6 4,3 0,5700 1,0500 0,5985 0,3249 3,6700 -0,6300
9 5,9 3,6 0,4700 0,3500 0,1645 0,2209 3,5963 -0,0037
10 3,8 2,1 -1,6300 -1,1500 1,8745 2,6569 2,0489 -0,0511
Сумма 54,3 32,5     14,3850 19,5210 32,5000 0,0000
В соответствии с расчетами, представленными в таблице,
Соответственно уравнение регрессии может быть записано как:
Полученное уравнение может быть объяснено следующим образом: с увеличением реального дохода семьи на 1 т. руб. реальный расход семьи на продовольственные товары увеличивается на 0,7369 т. руб. Свободный член уравнения равен -0,7514, что может трактоваться как влияние на расход семьи других, неучтенных в модели факторов.
2) Рассчитаем линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
.
Для нашей задачи r = 0,8383, что подтверждает вывод, сделанный в пункте 1, что связь между признаками прямая, а также указывает на очень сильную взаимосвязь между расходами и доходами семьи.
R2= 0,8383 2 = 0.7027
Для нашей задачи коэффициент детерминации равен 0,7027, то есть 70,27% вариации результативного признака (реальный расход семьи на продовольственные товары) объясняется вариацией факторного признака (реальный доход семьи).
3) С вероятностью 0,95 оценим статистическую значимость коэффициента регрессии, коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом .
Сформулируем нулевую гипотезу о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: (линейной зависимости нет) при конкурирующей: (линейная зависимость есть) или о том, что уравнение в целом статистически незначимо: .
Статистическая значимость коэффициента регрессии проверяется с помощью t - критерия Стьюдента:
,
где
,
- стандартная ошибка оценки, рассчитываемая по формуле
.
Так как нулевая гипотеза предполагает, что =0, то tнабл. рассчитывается как:
.
Для нашего примера , а =2,3060, следовательно нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной и коэффициент регрессии статистически значим, то есть наличие существенной линейной зависимости реальным доходом и реальными расходами семьи на продовольственные товары статистически подтверждается.
Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью t - критерия Стьюдента при заданном уровне значимости . При этом проверяется нулевая гипотеза H0: r(X,Y) 0 о том, что генеральный коэффициент корреляции между X и Y равен нулю (или иначе: коэффициент корреляции генеральной совокупности незначим) при конкурирующей гипотезе H1: r (X,Y) 0 о том, что генеральный коэффициент корреляции значим.
Для проверки гипотезы используется t - статистика, определяемая по формуле:
Полученное значение t сравнивается с критическим значением t-критерия с учетом заданного уровня значимости (α = 0,05) и числа степеней свободы (n-2).
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α = 0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F- критерия Фишера.
Поскольку |t| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции