Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи

Построим поле корреляции (рис.2.1).
Рис. 2.1
По виду расположения точек можно предположить, что имеется слабая положительная корреляционная зависимость.
2а. Построению степенной модели
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.1)
предшествует процедура линеаризации. В данном случае линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
.
По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.2)
где Таким образом, степенная модель свелась к линейной модели с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез (см. пример 1).
Для расчетов используем данные таблицы 2.2
Таблица 2.2
u=lnx
v=lny
uv
u2 v2 A
1 6,816 6,133 41,803 46,453 37,619 446,335 14,665 3,181 215,059 520,694 66,485
2 6,696 6,261 41,926 44,834 39,206 392,536 131,464 25,089 17282,802 5870,306 3008,101
3 6,617 5,697 37,700 43,790 32,457 360,902 -62,902 21,108 3956,628 11718,521 29293,639
4 6,742 5,861 39,512 45,451 34,349 412,330 -61,330 17,473 3761,378 3228,941 13960,331
5 6,991 6,436 44,996 48,877 41,424 538,725 85,275 13,666 7271,838 4840,136 23977,331
6 6,979 6,370 44,456 48,708 40,576 531,823 52,177 8,934 2722,480 3927,374 13189,639
7 6,916 6,052 41,855 47,827 36,628 496,874 -71,874 16,912 5165,869 768,406 1949,562
8 6,525 5,624 36,697 42,576 31,630 326,883 -49,883 18,008 2488,330 20240,946 36923,101
9 6,547 5,771 37,784 42,860 33,310 334,595 -13,595 4,235 184,816 18106,162 21949,562
10 7,132 6,351 45,293 50,861 40,334 626,289 -53,289 9,300 2839,714 24691,445 10784,024
11 6,874 6,356 43,693 47,255 40,400 475,245 100,755 17,492 10151,494 37,107 11416,101
12 6,800 6,377 43,363 46,242 40,663 438,996 149,004 25,341 22202,249 909,507 14124,408
13 7,141 6,209 44,337 50,997 38,547 632,730 -135,730 27,310 18422,606 26757,125 775,408
Итого 88,776 79,499 543,415 606,731 487,140 6014,262 84,738 208,049 96665,262 121616,670 181417,692
Среднее значение 6,829 6,115 41,801 46,672 37,472
s 0,194 0,275
s2 0,038 0,076
В соответствии с формулой (1.15) вычисляем
, .
В результате, получим линейное уравнение
.
Выполнив его потенцирование, находим искомое уравнение степенной регрессии:
. MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.3)
Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата .
2б. Построению полулогарифмической модели:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.4)
также предшествует процедура линеаризации путем преобразования . В результате получается линейное уравнение регрессии:
. MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.5)
Для расчетов используем данные таблицы 2.3
Таблица 2.3
y v=lnx
yv
v2 y2 A
1 461 6,816 3142,01 46,45294847 212521 463,2191 -2,21906 0,481358 4,924229 35,22168 66,48521
2 524 6,696 3508,599 44,83372314 274576 409,5866 114,4134 21,83462 13090,43 3548,26 3008,101
3 298 6,617 1971,986 43,79002217 88804 374,502 -76,502 25,67182 5852,561 8958,966 29293,64
4 351 6,742 2366,337 45,45052826 123201 430,129 -79,129 22,54387 6261,399 1522,939 13960,33
5 624 6,991 4362,494 48,87655427 389376 541,7771 82,22289 13,17675 6760,604 5274,138 23977,33
6 584 6,979 4075,821 48,70846877 341056 536,3926 47,6074 8,151952 2266,465 4521,05 13189,64
7 425 6,916 2939,182 47,82723082 180625 508,0094 -83,0094 19,53163 6890,564 1509,756 1949,562
8 277 6,525 1807,433 42,57601204 76729 333,1622 -56,1622 20,27516 3154,191 18493,73 36923,1
9 321 6,547 2101,518 42,86039921 103041 342,8985 -21,8985 6,821976 479,5461 15940,4 21949,56
10 573 7,132 4086,463 50,86112364 328329 604,6648 -31,6648 5,526137 1002,657 18363,21 10784,02
11 576 6,874 3959,538 47,25460495 331776 489,4258 86,57425 15,03025 7495,1 410,9503 11416,1
12 588 6,800 3998,5 46,24231296 345744 456,2958 131,7042 22,39867 17346 165,3292 14124,41
13 497 7,141 3549,199 50,9973819 247009 608,9372 -111,937 22,52257 12529,93 19539,37 775,4083
Итого 6099 88,77572 41869,08 606,7313106 3042787 6099 -9,1E-13 203,9668 83134,37 98283,33 181417,7
Среднее значение 469,1538 6,828901 3220,699 46,67163928 234060,5385
s 118,1322 0,194288
s2 13955,21 0,037748
В соответствии с формулой (1.15) вычисляем
, .
В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии: