Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между расходами на рекламу в СМИ и прибылью предприятия

1. Построим поле корреляции (рис. 1) и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками:
Х - расходы на рекламу в СМИ, тыс. долл.;
Y - прибыль предприятия, млн. долл.
По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между расходами на рекламу и прибылью предприятия.
2. Рассчитаем оценки параметров линейной модели
методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии
. (1)
Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 1
№ п\п хi уi хi2 уiхi уi2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 6,5 9,4 42,25 61,10 88,36 8,89 0,26 60,53 52,80 47,38
2 4,2 7 17,64 22,08 49,00 6,29 0,51 107,73 93,44 17,64
3 8,8 10,6 77,44 21,46 112,36 11,49 0,79 26,83 36,80 52,70
4 10,6 14,6 112,36 11,50 213,16 13,52 1,16 9,90 4,27 81,76
5 15,9 16,7 252,81 30,00 278,89 19,51 7,90 8,09 0,00 196,49
6 17,1 18 292,41 92,00 324,00 20,87 8,22 17,65 1,78 50,41
7 14,3 19,6 204,49 123,69 384,16 17,70 3,60 1,07 8,60 447,07
8 18,5 22,5 342,25 130,98 506,25 22,45 0,00 33,44 34,03 342,25
9 19,6 25,7 384,16 116,48 660,49 23,69 4,03 49,37 81,60 384,16
10 20,4 26,3 416,16 145,58 691,69 24,60 2,90 62,89 92,80 416,16
11 12,7 13,6 161,29 229,10 184,96 15,89 5,26 0,60 9,40 161,29
12 12 16 144 322,42 256,00 15,10 0,80 2,44 0,44 144,00
160,6 200 2447,3 1306,39 3749,32 200,00 35,44 380,54 415,99 2341,31
Найдем оценки параметров , из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет следующий вид:
Отсюда можно выразить , :
Необходимые суммы рассчитаны в табл. 1 в столбцах 2 - 5.
Занесем полученные ответы в табл. 1.
Подставим рассчитанные значения , в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде:
.
3. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного линейного коэффициента корреляции:
.
Заполним столбец 6 и подставим рассчитанные суммы из табл. 1.
0,956.
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу Н0 об отсутствии линейной зависимости между признаками Х и Y, т.е.
Н0: rг = 0,
Н1: rг 0.
Конкурирующая гипотеза Н1 определяет двустороннюю критическую область.
Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины
Т =,
которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы.
По выборочным данным найдем
Тн =
По таблице критических точек распределения Стьюдента находим
tкр.дв(; k) = tкр.дв(0,01; 10) = 3,169
(на пересечении строки k = 10 и уровня значимости = 0,01) .
Сравниваем Тн и tкр.дв(; k). Так как Тн > tкр.дв(; k), то Тн попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между расходами на рекламу в СМИ и прибылью предприятия.
Справедлива конкурирующая гипотеза Н1: rг 0, rв значим, признаки Х и Y коррелированны.
Коэффициент корреляции rв по модулю больше 0,7, значит, связь между признаками тесная, а положительный знак rв указывает на прямую зависимость между расходами на рекламе в СМИ и прибылью компании, что подтверждается экономической теорией.
4. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции rв в квадрат:
= (rв)2 = (0,956)2 = 0,9148.
Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака Y, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 91,48% вариации прибыли предприятия объясняется вариацией расходов на рекламу, а 8,52% зависит от вариации не учтенных в модели факторов.
5. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии:
Н0: b = 0,
Н1: b 0.
Конкурирующая гипотеза Н1 определяет двустороннюю критическую область.
Данная гипотеза Н0 проверяется с помощью случайной величины
=,
которая имеет распределение Стьюдента с k = 12 – 2 = 10 степенями свободы.
Заполняем столбцы 7 и 8 табл. 1. Для того чтобы найти , надо значения фактора (столбец 2 табл. 1) подставить в уравнение (2).
Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле
,
где – это несмещенная оценка остаточной дисперсии , она равна
(табл. 1, столбец 8).
Тогда стандартная ошибка регрессии

Дисперсия объясняющего фактора Х вычисляется по формуле
=.
Итак,
Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
= .
По таблице критических точек распределения Стьюдента находим
tкр.дв (; k) = tкр.дв(0,01; 10) = 3,169.
Сравниваем и tкр.дв (; k). Так как > tкр.дв (; k), то попало в критическую область. Следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 1-процентном уровне значимости. Справедлива конкурирующая гипотеза Н1: b 0, оценка параметра статистически значима, признаки Х и Y взаимосвязаны.
Таким образом, если расходы на рекламу в СМИ увеличится на 1 тыс. долл., то прибыль предприятия увеличится в среднем на 1,13 млн. долл.
6. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b.
– tкр.дв(α; k)+ tкр.дв(α; k).
Подставляем значения из п