1,2) Построим интервалы группирования для каждой из выборок. Объемы выборок одинаковые и равны n=30
Произведем разбиение выборки на N=5 интервалов.
Найдем максимальные и минимальные значения в каждой из выборок:
xmax=79 xmin=17
ymax=34 ymin=14
Длину интервала найдем по формуле:
h=xmax-xminN-1=79-174=15,5
h=ymax-yminN-1=34-144=5
Для каждой из выборок найдем границы интервалов:
a1=xmin-h2=17-7,75=9,25 ai=ai-1+h
b1=ymin-h2=14-2,5=11,5 bi=bi-1+h
Подсчитаем количество вхождений ni вариант каждой выборки в интервал. Найдем середины интервалов xi*
Вычислим относительные частоты попадания в интервал по формулам:
pi=nin
Вычислим плотность частоты по формуле:
fi=pih
В результате получим вариационное распределение:
X
[9,25;24,75)
[24,75;40,25)
[40,25;55,75)
[55,75;71,25)
[71,25;86,75)
xi*
17 32,5 48 63,5 79
ni
1 8 7 10 4
pi
0,0333 0,2667 0,2333 0,3333 0,1333
fi
0,0022 0,0172 0,0151 0,0215 0,0086
Y
[11,5;16,5)
[16,5;21,5)
[21,5;26,5)
[26,5;31,5)
[31,5;36,5)
yi*
14 19 24 29 34
ni
2 6 11 8 3
pi
0,0667 0,2 0,3667 0,2667 0,1
fi
0,0133 0,04 0,0733 0,0533 0,02
Построим полигоны частот: ломанную кривую с вершинами в точках xi*;fi,yi*;fi
Гистограммы частот: прямоугольники с основанием интервалов и высотой fi
3) Построим корреляционную таблицу. Подсчитаем количество каждой из пар, попавших в соответствующие интервалы:
[11,5;16,5)
[16,5;21,5)
[21,5;26,5)
[26,5;31,5)
[31,5;36,5)
14 19 24 29 34
[9,25;24,75)
17 1
[24,75;40,25)
32,5 1 4 3
[40,25;55,75)
48
2 4 1
[55,75;71,25)
63,5
4 4 2
[71,25;86,75)
79
3 1
4) Найдем выборочные числовые характеристики для X и Y
xВ=1n∙i=16xi∙ni=17∙1+32,5∙8+48∙7+63,5∙10+79∙430=156430≈52,133
Dвx=1n∙i=16xi2∙ni-xВ2=
≈172∙1+32,52∙8+482∙7+63,52∙10+792∙430-52,1332≈
≈90153,530-2717,85≈3005,117-2717,85=287,267 σx=Dвx≈16,949
Sx2=nn-1∙Dвx=3029∙287,267≈297,173 Sx=Sx2≈17,239
Аналогично произведем вычисления для Y:
yВ=1n∙i=16yi∙ni=14∙2+19∙6+21∙11+29∙8+34∙330=74030=24,667
Dвy=1n∙i=16yi2∙ni-yВ2=142∙2+192∙6+212∙11+292∙8+342∙330-24,6672≈
=1909030-608,461≈636,333-608,461=27,872 σy=Dвy≈5,279
Sy2=nn-1∙Dвy=3029∙27,872≈28,833 S=Sy2≈5,37
1n∙i,j xi∙yj∙nij=17∙14∙1+32,5∙14∙1+32,5∙19∙4+32,5∙24∙3+48∙19∙230+
+48∙24∙4+48∙29∙1+63,5∙24∙4+63,5∙29∙4+63,5∙34∙2+79∙29∙3+79∙34∙130
=4066630=1355,533
rВ=i,j xi∙yj∙nij-n∙xВ∙yВn∙σx∙σy=40666-30∙52,133∙24,66730∙16,949∙5,279≈0,7775
5) Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии X
а) Математическое ожидание при неизвестной дисперсии, считая, что X распределена нормально:
xВ-tn.γ∙Sn<a<xВ+tn.γ∙Sn
xВ=52,133 Sx=17,239
tn.γ найдем по таблице распределения Стьюдента:
t30;0,9=1,31 t30;0,95=1,7
γ=0,9
52,133-1,31∙17,23930<a<52,133+1,31∙17,23930 (48,01;56,256)
γ=0,95
52,133-1,7∙17,23930<a<52,133+1,7∙17,23930 (46,782;57,484)
б) Математическое ожидание при известной дисперсии, считая, что X распределена нормально:
xВ-zγ∙σn<a<xВ-zγ∙σn
xВ=52,133 σx=16,949
zγ найдем, исходя из того, что:
2Фzγ=γ
γ=0,9 => Фzγ=γ2=0,45 => zγ=1,65
γ=0,95 => Фzγ=γ2=0,475 => zγ=1,96
γ=0,9
52,133-1,65∙16,94930<a<52,133+1,65∙16,94930 (47,027;57,239)
γ=0,95
52,133-1,96∙16,94930<a<52,133+1,96∙16,94930 (46,068;58,198)
в) Для дисперсии, считая, что X распределена нормально:
n-1∙S2χ12<σ<n-1∙S2χ22
Sx=17,239
χ12=χ2α2;n-1; χ22=χ21-α2;n-1
γ=0,9 α=0,1
χ22=χ20,05;29=18,5 χ12=χ20,95;29=43,8
29∙17,23943,8<σ<29∙17,23918,5 (11,414;27,023)
γ=0,95 α=0,05
χ22=χ20,025;29=16,8 χ12=χ20,975;29=47
29∙17,23947<σ<29∙17,23916,8 (10,637;29,758)
6) Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Y
а) Математическое ожидание при неизвестной дисперсии, считая, что Y распределена нормально:
yВ-tn.γ∙Sn<a<yВ+tn.γ∙Sn
yВ=24,667 Sy=5,37
tn.γ найдем по таблице распределения Стьюдента:
t30;0,9=1,31 t30;0,95=1,7
γ=0,9
24,667-1,31∙5,3730<a<24,667+1,31∙5,3730 (23,383;25,951)
γ=0,95
24,667-1,7∙5,3730<a<24,667+1,7∙5,3730 (23;26,334)
б) Математическое ожидание при известной дисперсии, считая, что Y распределена нормально:
yВ-zγ∙σn<a<yВ-zγ∙σn
yВ=24,667 σy=5,279
zγ найдем, исходя из того, что:
2Фzγ=γ
γ=0,9 => Фzγ=γ2=0,45 => zγ=1,65
γ=0,95 => Фzγ=γ2=0,475 => zγ=1,96
γ=0,9
24,667-1,65∙5,27930<a<24,667+1,65∙5,27930 (23,077;26,257)
γ=0,95
24,667-1,96∙5,27930<a<24,667+1,96∙5,27930 (22,778;26,556)
в) Для дисперсии, считая, что Y распределена нормально:
n-1∙S2χ12<σ<n-1∙S2χ22
Sy=5,37
χ12=χ2α2;n-1; χ22=χ21-α2;n-1
γ=0,9 α=0,1
χ22=χ20,05;29=18,5 χ12=χ20,95;29=43,8
29∙5,3743,8<σ<29∙5,3718,5 (3,555;8,418)
γ=0,95 α=0,05
χ22=χ20,025;29=16,8 χ12=χ20,975;29=47
29∙5,3747<σ<29∙5,3716,8 (3,313;9,27)
7) Выдвинем гипотезу о равномерном распределении случайной величины X
Вычислим теоретические вероятности попадания в интервал по формуле:
pi*=1N=0,2
Составим таблицу:
№ pi
pi*
pi*-pi
(pi*-pi)2
n∙(pi*-pi)2pi*
1 0,0333 0,2 0,1667 0,0278 4,1683
2 0,2667 0,2 -0,0667 0,0044 0,6673
3 0,2333 0,2 -0,0333 0,0011 0,1663
4 0,3333 0,2 -0,1333 0,0178 2,6653
5 0,1333 0,2 0,0667 0,0044 0,6673
8,3345
χнабл2=8,3345
По таблице распределения критических значений χ2 при доверительной вероятности 0,9 и числу степеней свободы: k=5-2-1=3
χкрит22;0,9=4,61
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотеза о равномерном распределении отвергается.
8) Выдвинем гипотезу о нормальном распределении случайной величины Y с параметрами:
a≈xв=24,667 σ≈S=5,37
Вычислим теоретические вероятности попадания в интервал по формуле:
pi*=Фxi+1-aσ-Фxi-aσ
p1*=Ф16,5-24,6675,37-Ф11,5-24,6675,37≈Ф-1,52-Ф-2,45=0,057
p2*=Ф21,5-24,6675,37-Ф16,5-24,6675,37≈Ф-0,58-Ф-1,52=0,2135
p3*=Ф26,5-24,6675,37-Ф21,5-24,6675,37≈Ф0,34-Ф-0,58=0,3559
p4*=Ф31,5-24,6675,37-Ф26,5-24,6675,37≈Ф1,27-Ф0,34=0,2648
p5*=Ф36,5-24,6675,37-Ф31,5-24,6675,37≈Ф2,2-Ф1,27=0,0878
Вычислим значение критерия:
χнабл2=ni=16(pi*-pi)2pi*
Составим таблицу:
№ pi
pi*
pi*-pi
(pi*-pi)2
n∙(pi*-pi)2pi*
1 0,0667 0,057 -0,0097 0,000094 0,0495
2 0,2 0,2135 0,0135 0,000182 0,0256
3 0,3667 0,3559 -0,0108 0,000117 0,0098
4 0,2667 0,2648 -0,0019 0,000004 0,0004
5 0,1 0,0878 -0,0122 0,000149 0,0509
0,1362
χнабл2=0,1362
По таблице распределения критических значений χ2 при доверительной вероятности 0,9 и числу степеней свободы: k=5-2-1=3
χкрит22;0,9=4,61
Так как χнабл2<χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении принимается.
9) Выдвинем гипотезу H0 об отсутствии линейной связи между X и Y
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Tнабл=rВ∙n-21-rВ2=0,7775∙281-0,75152≈6,542
По таблице критических значений при доверительной вероятности γ=0,9 и числу степеней свободы k=30-2=28, находим:
Tкрит28;0,9=1,31
Так как Tнабл>Tкрит, го гипотеза об отсутствии связи между величинами отвергается
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
