Построить полигон частот и гистограмму

1. Сгруппируем исходные данные, то есть разобьем их на k частичных интервалов и посчитаем частоту попадания наблюдаемых знаний в частичные интервалы.
Найдем максимальное и минимальное значения:
xmin=126; xmax=132.
Вычислим размах выборки:
R=xmax-xmin=132-126=6
Увеличим диапазон до отрезка 125;133 длины R=8. Этот отрезок удобно разбить на 4 интервала длиной h=2. За начало первого интервала берем целое число 125. Результаты промежуточных расчетов приведены в таблице ниже.
№ Частичные интервалы
xi;xi+1
Середины интервалов
xi*
Частоты
ni
Относительные частоты
nin
Накопленные частоты
1 125 127 126 7 0,2333 0,2333
2 127 129 128 10 0,3333 0,5667
3 129 131 130 11 0,3667 0,9333
4 131 133 132 2 0,0667 1,0
Сумма 30 1,0
Построим гистограмму и полигон относительных частот.

2. Найдем максимальное и минимальное значения:
ymin=25; ymax=31.
Вычислим размах выборки:
R=ymax-ymin=31-25=6
Увеличим диапазон до отрезка 24;32 длины R=8. Этот отрезок удобно разбить на 4 интервала длиной h=2. За начало первого интервала берем целое число 24. Результаты промежуточных расчетов приведены в таблице ниже.
№ Частичные интервалы
yi;yi+1
Середины интервалов
yi*
Частоты
ni
Относительные частоты
nin
Накопленные частоты
1 24 26 25 8 0,2667 0,2667
2 26 28 27 13 0,4333 0,7
3 28 30 29 8 0,2667 0,9667
4 30 32 31 1 0,0333 1,0
Сумма 30 1,0
Построим гистограмму и полигон относительных частот.

3. Заполним корреляционную таблицу.
X
Y (125;127]
(127;129]
(129;131]
(131;133]
(24;26] 5 3
8
(26;28] 2 6 5
13
(28;30]
1 6 1 8
(30;32]
1 1
7 10 11 2 30
30
4. Найдем выборочные числовые характеристики для Х и Y, а также коэффициент корреляции.
Математическим ожиданиям соответствуют выборочные средние:
Mx=x=xin=387230=129,07; My=y=yin=82930=27,63.
Дисперсиям соответствуют выборочные дисперсии:
Sx2=x-x2n=128-129,072+131-129,072+…+130-129,07230=2,9956
Sy2=y-y2n=26-27,632+29-27,632+…+30-27,63230=2,3656
Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:
Sx=Sx2=2,9956=1,7308; Sy=Sy2=2,3656=1,538
Также можно отыскать выборочный коэффициент корреляции:
r=x∙y-x∙ySxSy=3568,8-129,07∙27,631,7308∙1,538=0,8482
5. Доверительные интервалы для с. в. Х.
Построим доверительный интервал для математического ожидания с неизвестной дисперсией с надежностью γ=0,95.
x-Sxn∙tα2;n-1<Mx<x+Sxn∙tα2;n-1
Рассчитаем критическую точку распределения Стьюдента, где α=1-γ=1-0,95=0,05:
tα2;n-1=t0,052;30-1=t0,025;29=2,05
Искомый доверительный интервал примет вид:
129,07-1,730830∙2,05<Mx<129,07+1,730830∙2,05
129,07-0,118271333<Mx<129,07+0,118271333
128,9483953<Mx<129,184938
Построим доверительный интервал для математического ожидания с известной дисперсией.
x-Sx2n∙uγ2<Mx<x+Sx2n∙uγ2
Число uγ2 определяется по таблице значений функции Лапласа . Так как Фuγ2=γ2, то uγ2=1,96.
129,07-2,995630∙1,96<Mx<129,07+2,995630∙1,96
129,07-1,071945789<Mx<129,07+1,071945789
127,9947209<Mx<130,1386125
Построим доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании.
nSx2χ2α2, n<Sx2<nSx2χ21-α2, n
Используя таблицу критических точек хи-квадрат распределения, найдем критические точки:
χ21-α2; n=χ21-0,052; 30=χ20,975; 30=16,8
χ2α2; n=χ20,052; 30=χ20,025; 30=47
В итоге имеем:
30∙2,995647<Sx2<30∙2,995616,8
1,9121<Sx2<5,3493
6. Доверительные интервалы для с. в. Y.
Построим доверительный интервал для математического ожидания с неизвестной дисперсией с надежностью γ=0,95.
y-Syn∙tα2;n-1<My<y+Syn∙tα2;n-1
Рассчитаем критическую точку распределения Стьюдента, где α=1-γ=1-0,95=0,05:
tα2;n-1=t0,052;30-1=t0,025;29=2,05
Искомый доверительный интервал примет вид:
27,63-1,53830∙2,05<My<27,63+1,53830∙2,05
27,63-0,105099145<My<27,63+0,105099145
27,73509914<My<27,52490086
Построим доверительный интервал для математического ожидания с известной дисперсией.
y-Sy2n∙uγ2<My<y+Sy2n∙uγ2
Число uγ2 определяется по таблице значений функции Лапласа. Так как Фuγ2=γ2, то uγ2=1,96.
27,63-2,365630∙1,96<My<27,63+2,365630∙1,96
27,63-0,846503184<My<27,63+0,846503184
26,78683015<My<28,47983652
Построим доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании.
nSy2χ2α2, n<Sy2<nSy2χ21-α2, n
Критические точки χ21-α2; n=16,8 и χ2α2; n=47.
В итоге имеем:
30∙2,365647<Sy2<30∙2,365616,8
1,5099<Sy2<4,2243
7. Проверить гипотезу о виде закона распределения для с. в. Х.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n=30; h=2; Sx=1,7308; x=129,07.
Расчеты сведем в таблицу.
i
xi
ui
φi
fi*
1 126 -1,7719 0,0818 1,418
2 127 -1,1941 0,1942 3,366
3 128 -0,6163 0,3292 5,706
4 129 -0,0385 0,3986 6,909
5 130 0,5393 0,3448 5,977
6 131 1,117 0,2131 3,694
7 132 1,6948 0,094 1,629
Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:
χ2=fi-fi*2fi*
i
fi
fi*
fi*
fi-fi*2
fi-fi*2fi*
1 2 1,4179 -0,5821 0,3389 0,239
2 5 3,3661 -1,6339 2,6695 0,793
3 5 5,7061 0,7061 0,4986 0,0874
4 5 6,9091 1,9091 3,6446 0,528
5 5 5,9765 0,9765 0,9536 0,16
6 6 3,6937 -2,3063 5,3188 1,44
7 2 1,6293 -0,3707 0,1374 0,0843
∑ 30 30     3,331
Определим границу критической области