Построить математическую модель задачи согласно предложенному варианту

Пусть продукции А необходимо выпускать х1, продукции В – х2, продукции С – х3, тогда ограничения
по сырью I:3x1+5x2≤30,
по сырью II:x1+x2+x3=8,
по сырью III:2x2≤8,
по неотрицательности переменных:
x1>0,
x2>0,
x3>0.
Прибыль определяется как F(X)=3x1+3x2+x3, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F(X)=3x1+3x2+x3 → max
3x1+5x2≤30,
x1+x2+x3=8,
2x2≤8,
x1>0,
x2>0,
x3>0.
Приведем систему неравенств к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим неотрицательную базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим неотрицательную базисную переменную x5.
3x1+5x2+x4 = 30
x1+x2+x3 = 8
2x2+x5 = 8
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
3 5 0 1 0 30
1 1 1 0 0 8
0 2 0 0 1 8
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x3.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,3,5).
Выразим базисные переменные через остальные:x4 = -3x1-5x2+30
x3 = -x1-x2+8
x5 = -2x2+8
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 3x1+3x2+(-x1-x2+8)
илиF(X) = 2x1+2x2+8
Т.к . x4>0, то
x4 = -3x1-5x2+30>0
-3x1-5x2+30>0
-3x1-5x2>-30
Т.к. x3>0, то
x3 = -x1-x2+8>0
-x1-x2+8>0
-x1-x2>-8
Т.к. x5>0, то
x5 = -2x2+8>0
-2x2+8>0
-2x2>-8
Математическая модель принимает вид:
F(X) = 2x1+2x2+8 → max
-3x1-5x2>-30
-x1-x2>-8
-2x2>-8
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+2x2+8 → max при системе ограничений:
-3x1-5x2≥-30,(1)-x1-x2≥-8,(2)-2x2≥-8,(3)x1 ≥ 0, (4)
x2 ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение -3x1-5x2 = -30 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 6. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 10. Соединяем точку (0;6) с (10;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:-3 ∙ 0 - 5 ∙ 0 + 30 ≥ 0, т.е. -3x1-5x2 + 30≥ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение -x1-x2 = -8 по двум точкам