Построить функциональные схемы рекурсивного дискретного фильтра с передаточной функцией

Передаточная функция рекурсивного дискретного фильтра имеет вид:
Hz=3+4z-1-2z-22+3z-1-4z-2.
С учетом того, что передаточная функция – это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:
Hz=ZynZxn,
Найдем разностное уравнение:
2yn+3yn-1-4yn-2=3xn+4xn-1-2xn-2.
Отсюда:
yn=1,5xn+2xn-1-xn-2-1,5yn-1+2yn-2.
На основе разностного уравнения изобразим функциональную схему фильтра в прямой форме:
Рисунок 1. Функциональная схема фильтра в прямой форме
Получим каноническую структуру фильтра. Для этого передаточную функцию представим в виде:
Hz=3+4z-1-2z-22+3z-1-4z-2=12+3z-1-4z-2*3+4z-1-2z-2,
Получили два последовательно соединенных фильтра. Первый из фильтров имеет только полюсы, а второй — только нули. Если записать
H1z=WzXz=12+3z-1-4z-2;
H2z=YzWz=3+4z-1-2z-2.
то получается пара разностных уравнений:
wn=0.5xn-1.5wn-1+2wn-2;
yn=3wn+4wn-1-2wn-2.
На основе этих разностных уравнений составим схему . Это – каноническая структура фильтра:
Рисунок 2. Функциональная схема фильтра в канонической форме
Теперь получим структуру фильтра в каскадной форме.
Для этого представим передаточную функцию в виде произведения блоков первого порядка. Необходимо определить нули и полюса. Определим нули, для этого приравняем числитель передаточной функции к 0:
3+4z-1-2z-2=0
Умножим на z2:
3z2+4z-2=0
Решим это уравнение:
D=16+24=40
Тогда нули равны:
z10=-4-6.36=-1.7
z20=-4+6.36=0.4
Определим полюса, для этого приравняем знаменатель передаточной функции к 0:
2+3z-1-4z-2=0
Умножим на z2:
2z2+3z-4=0
Решим это уравнение:
D=9+32=41
Тогда полюса равны:
z1=-3-6.44=-2.3
z2=-3+6.44=0.8
Тогда передаточная функция представима в виде:
Hz=3+4z-1-2z-22+3z-1-4z-2=321+1.7z-11+2.3z-11-0.4z-11-0.8z-1
На основе полученной формулы составим схему