Исходные данные
Рис. 20
Формы сечений: прямоугольное h/b=4, кольцевое d/D=0,9.
Характеристики материала балки: σт=280 МПа;E=190000 МПа.
Требуется
1. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, My, крутящих моментов Mкр, нормальных сил N и перерезывающих сил Qy, Qz.
2. Выполнить проектировочный расчет – подобрать размеры сечений бруса: прямоугольного с заданным соотношением сторон, кольцевого и круглого, используя четвертую (энергетическую) теорию прочности, пренебрегая влиянием напряжений от нормальных и перерезывающих сил.
3. Для выбранных размеров сечений бруса определить максимальные величины напряжений от нормальных и перерезывающих сил, не учтенных в проектировочном расчете и сделать вывод об их влиянии на прочность бруса.
4. Определить смещение крайнего (свободного) сечения бруса в вертикальном или горизонтальном направлении (при вычислении перемещений пренебречь деформациями сдвига от перерезывающих сил и растяжения-сжатия от нормальных сил).
Принять коэффициент запаса прочности n=2.
Решение
Построение эпюр изгибающих моментов Mz, My, крутящих моментов Mкр, нормальных сил N и перерезывающих сил Qy, Qz
Выбираем скользящую систему координат (рис. 21).
Участок АВ
N=0; Qy=0; Qz=P1=20 кН;
Mк=0; Mz=M=5 кНм;
My=P1∙x3; My,A=0; My,B=P1∙l3=30 кНм.
Участок BC
N=0;Qy=0;Qz=P1+q∙x2;Qz,B=P1=20 кН;Qz,C=P1+q∙l2=24 кН;
Mк=P1∙l3=30 кНм; Mz=M=5 кНм;
My=P1∙x2+q∙x2∙x22; My,B=0; My,C=P1∙l2+q∙l2∙l22=11 кНм.
Участок CD
N=-P1-q∙l2=-24 кН; Qy=0; Qz=0;
Mк=M=5 кНм; My=P1∙l2+q∙l2∙l22=11 кНм;
Mz=-P1∙l3=-30 кНм.
По полученным значениям строим эпюры внутренних усилий (рис. 21).
2. Подбор сечений по четвертой теории прочности
Расчетный момент по четвертой теории прочности определяется следующим образом:
MрасчIV=My2+Mz2+0,75Mк2.
Условие прочности:
MрасчIVW≤σ.
Допускаемое напряжение:
σ=σтn=2802=140 МПа.
Кольцевое сечение
Момент сопротивления:
Wz=πD3∙1-dD232.
Отсюда требуемый внешний диаметр сечения:
D≥332∙My2+Mz2+0,75Mк2π∙1-dD2∙σ=332∙103∙302+52+0,75∙02π∙1-0,92∙140∙106=0,227 м.
Принимаем по ГОСТ 6636-69 D=230 мм, d=210 мм.
Рис
. 21
Круглое сечение
Момент сопротивления:
Wz=πD332.
Отсюда требуемый диаметр сечения:
D≥332∙My2+Mz2+0,75Mк2π∙σ=332∙103∙112+52+0,75∙3023,14∙140∙106=0,128 м.
Принимаем по ГОСТ 6636-69 D=130 мм.
Прямоугольное сечение
Соотношение сторон сечения hb=4.
Момент сопротивления прямоугольного сечения:
Wy=bh26=0,25∙h36.
Отсюда требуемая высота сечения:
h≥324∙My2+Mz2+0,75Mк2σ=324∙103∙112+302+0,75∙52140∙106=0,177 м.
Принимаем по ГОСТ 6636-69 hxb=180x45 мм.
3. Определение максимальных величин напряжений от нормальных и перерезывающих сил для выбранных размеров сечений бруса
Нормальные напряжения от нормальных сил определяются по формуле:
σ=NA.
Кольцевое сечение
σ=0.
Круглое сечение
σ=0.
Прямоугольное сечение
σ=-24∙1030,18∙0,045=-2,96∙106 Па=-2,96 МПа.
Максимальные касательные напряжения от перерезывающих сил определяются для каждого сечения по-своему.
Кольцевое сечение
τz,max=2Qzmaxπ∙d0∙t=2∙20∙103π∙0,23+0,212∙0,02=2,89∙106 Па=2,89 МПа;
где d0- средний диаметр кольца,
t- толщина кольца;
τy,max=0.
Круглое сечение
τz,max=4Qzmax3A=4∙24∙103∙43∙π∙0,132=2,41∙106 Па=2,41 МПа;
τy,max=0.
Прямоугольное сечение
τy,max=τz,max=0.
Полученные значения нормальных напряжений от действия нормальных сил и касательных напряжений от действия поперечных сил оказались значительно меньше нормальных напряжений, вызванных действием изгибающих и крутящих моментов
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
