Построение теоретической кривой плотности распределения и теоретической кривой функции распределения

Разбить выборку на частичные интервалы.
Найдем минимальное и максимальное значения выборки xmin=0,5, xmax=29,9.
Для удобства вычисления возьмем общий интервал a,b, где a=0, b=30. На этом интервале находятся все случайные числа xi. Интервал 0, 30 делим на K равных частичных интервалов, принимаем K≈n с округлением до целого. Для заданного массива K=25=5. Длина каждого частичного интервала
h=b-aK=30-05=6
Вычислить относительные частоты, плотности относительных частот и накопленные относительные частоты.
Сначала подсчитаем ni количество чисел заданного массива, попавших в i-ый интервал i=1,…,5. Относительные частоты wi (аналог вероятности попадания случайно величины X в i-ый интервал).
wi=nin
Плотность относительных частит vi (аналог теоретической плотности вероятностей): vi=wih.
Накопленные частоты Fi (аналог значений теоретической функции распределения вероятностей)
Fi=K=1iwK, то есть F1=w1;F2=w1+w2;F3=w1+w2+w3 и так далее
Каждый интервал будет представлять значение его середины xi. Представим результаты вычисления в таблице.
№ интервала Интервалы xi
Подсчет числа значений ni
wi=nin
vi=wih
Fi
1 [0; 6) 3 ** 2 0,08 0,01 0,08
2 [6; 12) 9 ****** 6 0,24 0,04 0,32
3 [12; 18) 15 ********** 10 0,4 0,07 0,72
4 [18; 24) 21 ***** 5 0,2 0,03 0,92
5 [24; 30] 27 ** 2 0,08 0,01 1
n=25
Σ=1
а) Построить на рисунке 1 гистограмму накопленных относительных частот и график эмпирической функции распределения
б) Построить на рисунке 2 гистограмму плотности относительных частот и график эмпирической функции плотности распределения.
По оси ox откладываем интервалы значений случайной величины X, по оси y – значения Fi и vi в i-ом интервале (масштабы по оси ox и oy различные) . Полученные ступенчатые фигуры, соответственно на рис. 1 и рис. 2, называются гистограммами.
а) На рисунке 1: точки, соответствующие Fi и правой границе iого интервала, соединяем плавной линией. Получим график эмпирической функции распределения вероятностей функции распределения FЭx.
Функция распределения FЭ неубывающая, изменяется от 0 до 1.
Вероятность попадания выборки X в интервал a,b равна разности значений функции распределения FЭx в этих точках.
б) На рисунке 2: точки, соответствующие vi в середине i-ого интервала, соединяем плавной кривой. Эта кривая – график эмпирической функции плотности распределения fЭx.
Площадь, ограниченная всем графиком функции плотности распределения, равна 1.
По виду графика плотности распределения вероятностей (в виде колокола) можно сделать предположение, что случайная величина X распределена по нормальному закону.
2. Статистические оценки параметров распределения случайной величины. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Оценкой математического ожидания случайной величины X является выборочное среднее
Xв=1ni=1kxini
Xв=x1∙n1+x2∙n2+x3∙n3+x4∙n4+x5∙n525=3∙2+9∙6+15∙10+21∙5+27∙225=6+54+150+105+5425=36925=14,76
Математическое ожидание генеральной совокупности MX≈14,76
Оценка дисперсии случайной величины X является выборочная дисперсия
Dв=1n-1i=1knixi2-nn-1 Xв2
Dв=x12n1+x22n2+x32n3+x42n4+x52n5n-1-nn-1 Xв2=32∙2+92∙6+152∙10+212∙5+272∙224-2524∙14,762=18+486+2250+2205+145824-226,935=267,375-226,935=40,44
Оценка дисперсии DX≅Dв=40,44
Оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X является выборочное среднеквадратическое отклонение
σв=Dв
σв=40,44≈6,36
σX≅σв=6,36
3