Построение теоретической линии регрессии в случае линейной корреляционной зависимости

Построить корреляционное поле.
Для предварительного установления вида зависимости Y и X построим корреляционное поле. Видим, что оно располагается вдоль прямой. Это свидетельствует о линейности связи.
Найти частоты признаков.
Найдем частоты признаков ni=j=1mnij, nj=i=1lnij, записав их в дополнительные столбец и строку корреляционной таблицы. Объем выборки n=j=15nj=i=16ni=70.
Y
X 105 115 125 135 145 ni
j=15nijyj
xij=15nijyj
yxi
20
420
345
7 765 15300 109,2857
4
3
80
60
25
525
230
500
270
435 16 1960 49000 122,5
5
2
4
2
3
125
50
100
50
75
30
920
250
1350
20 2520 75600 126
8
2
10
240
60
300
35
210
345
500
540
145 14 1740 60900 124,2857
2
3
4
4
1
70
105
140
140
35
40
405
1160 11 1565 62600 142,2727
3
8
120
320
45
270
2 270 12150 135
2
90
nj
11 16 10 21 12 n=70
275550
i=16nijxi
275 455 300 700 430
yji=16nijxi
28875 52325 37500 94500 62350 275550
Вычислить выборочный коэффициент корреляции.
Выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле rв=xy-x∙yσx∙σy и показывает тесноту линейной связи между признаками. Чем ближе rв по абсолютной величине к 1, тем теснее связь.
Найдем
x=i=16nixin=17020∙7+25∙16+30∙20+35∙14+40∙11+45∙2=170140+400+600+490+440+90=216070≈30,8571
y=j=15njyjn=170105∙11+115∙16+125∙10+135∙21+145∙12=1701155+1840+1250+2835+1740=882070=126
σx2=1ni=16xi-x2∙ni=17020-30,85712∙7+25-30,85712∙16+30-30,85712∙20+35-30,85712∙14+40-30,85712∙11+45-30,85712∙2=170825,1363+548,8899+14,6924+240,2907+919,5188+400,0432=2948,571370≈42,1224
σу2=1nj=15yj-y2∙nj=170105-1262∙11+115-1262∙16+125-1262∙10+135-1262∙21+145-1262∙12=1704851+1936+10+1701+4332=1283070≈183,2857
σx=σx2=42,1224≈6,4902
σy=σy2=183,2857≈13,5383
xy=i=16xij=15nijyjn=j=15yji=16nijxin=27555070≈3936,4286
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции
rв=xy-x∙yσx∙σy=3936,4286-30,8571∙1266,4902∙13,5383≈0,5512
Коэффициент детерминации rв2≈0,55122=0,3038 означает, что 30,38% общей дисперсии Y обусловлено вариацией X.
Записать выборочные уравнения прямой и обратной линий регрессии .
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид
yx-y=rв∙σyσx∙x-x
yx-126=0,5512∙13,53836,4902∙x-30,8571
yx=1,1498x+90,5211
Запишем уравнение обратной линии регрессии Х на Y
xy-x=rв∙σxσy∙y-y
xy-30,8571=0,5512∙6,490213,5383∙y-126
xy=0,2642y-2,4375
Построить их на корреляционном поле.
Построим эти прямые на корреляционном поле по двум точкам соответствующим наибольшему и наименьшему значениям вариант
xmin=20
xmax=45
ymin=105
ymax=145
yx=113,5171
yx=142,2621
xy=25,3035
xy=35,8715
Оценить коэффициент корреляции генеральной совокупности.
Построим доверительный интервал коэффициента корреляции генеральной совокупности.
rв-∆<rг<rв+∆
∆=3∙1-rв2n=3∙1-0,5512270≈0,2496
0,5512-0,2496<rг<0,5512+0,2496
0,3016<rг<0,8008
Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции по критерию Стьюдента при уровне значимости α=0,05.
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции по критерию Стьюдента.
tнабл=rвn-21-rв2=0,5512∙70-21-0,55122≈5,4476
По таблице найдем
tкр68;0,05=2
Так как tнабл>tкр, то нет основания отвергать гипотезу о коррелированности Х и Y.
Найти корреляционное отношение.
Общей мерой тесноты связи линейной и нелинейной корреляционной зависимости между признаками является корреляционное отношение
ηyx=σyxσy
Чем ближе значение корреляционного отношения к 1, тем сильнее связь между признаками.
Вычислим условные средние yxi=j=15nijyjni занеся их в последнюю колонку корреляционной таблицы