Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x

Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x∈[0,π] с нулевой плотностью источников тепла, начальным распределением температуры T0 и краевыми условиями II-го рода на левом конце и I-го рода на правом.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Замечание 1. Скорее всего в задании требуется только написать постановку задачи (уравнение выводить не надо).
Изменение температуры u(x,t) стержня длинной π в отсутствии источников тепла описывается следующим одномерным уравнением теплопроводности
∂u∂t=a2∂2u∂x2, 0<x<π, t>0,
(1)
где a2=k/cρ − коэффициент температуропроводности; k − коэффициент теплопроводности; c − теплоемкость; ρ − плотность.
На левом краю задано граничное условие второго рода (условие Неймана), т.е. задан поток тепла , поступающего через этот край
-k∂u0,t∂x=q(t).
∂u0,t∂x=-qtk.
(2.1)
На правом краю задано граничное условие первого рода (условие Дирихле), т.е. известен закон изменения температуры этой точки
u0,t=μ(t).
(2.2)
В начальный момент времени температура стержня постоянная, т.е . начальное условие имеет вид
ux,0=T0.
(3)
Итак, имеем следующую начально-краевую задачу (1) − (3).
Думаю, что это и есть, то что требовалось в задаче.
Замечание 2. Если требуется вывод одномерного уравнения теплопроводности, то это делается так (см. ниже).
Выберем систему координат так, чтобы ось 0x совпадала с осью стержня, а начало поместим в левый торец
Считая изотермические поверхности плоскими, температура будет функцией только одной пространственной координаты x∈[0,π], т.е. u=u(x,t).
Составим уравнение баланса энергии для элемента стержня отсекаемого плоскостями x и x+∆x. По закону Фурье поток энергии пропорционален градиенту температуры
q=-k grad u,
где k − коэффициент теплопроводности. Знак минус означает, что тепло распространяется противоположно градиенту температуры, т.е

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу