Получены данные для предприятий машиностроения

Y- Рентабельность (прибыль в $ стоимость основных и оборотных фондов)
Х1 - Произв. труда, млн. руб. на 1 работника
Х2 - Средний возраст производств. оборудования, (лет)
Построим поле корреляции
Предположим, что форма связи между результативным признаком Y и факторными признаками Х1 и Х2 линейная: y=a+b1bx1+b2x2+ε .
Расчет параметров такого уравнения множественной регрессии выполним МНК путем решения системы нормальных уравнений:
an+b1x1i+b2x2i=yiax1i+b1x1i2+b2x1i*x2i=x1iyiax2i+b1x1i*x2i+b2x2i2=x2iyi
Выполним дополнительные расчеты в таблице
№ Y X1 X2 Y*X1 Y*X2 X1*X1 X2*X2 Y*Y X1*X2
1 7 7 20 49 140 49 400 49 140
2 8 10 19 80 152 100 361 64 190
3 7 9 21 63 147 81 441 49 189
4 9 11 17 99 153 121 289 81 187
5 9 11 16 99 144 121 256 81 176
6 8 11 18 88 144 121 324 64 198
7 11 17 15 187 165 289 225 121 255
8 11 14 14 154 154 196 196 121 196
9 16 13 10 208 160 169 100 256 130
10 14 12 13 168 182 144 169 196 156
Суммы 100 115 163 1195 1541 1391 2761 1082 1817
средние 10 11,5 16,3 119,5 154,1 139,1 276,1 108,2 181,7
Находим оценки параметров a, b1, b2 , которые получаются в результате решения системы нормальных уравнений
10a+115b1+163b2=100115a+1391b1+1817b2=1195163a+1817b1+2761b2=1541
Решим систему по методу Крамера (расчеты в Excel)
Получим оценки параметров регрессии: a=26.2569, b1=-0,1132, b2=-0,9175
Получили оценку уравнения регрессии у=26,2569-0,1132x1-0,9175x2
Экономическая интерпретация: коэффициент регрессии при каждой переменной X дает оценку ее влияния в среднем на величину Y в случае неизменности влияния на нее всех остальных переменных .
b1: с увеличением затрат на производительность труда на 1 работника на 1 % стоимость основных и оборотных фондов уменьшится на 0,1132 (ед). при фиксированном значении среднего возраста производственного оборудования. Так как коэффициент b1 отрицательный, связь между Y и факторными признаками Х1, и Х2 обратная.
b2: С увеличением среднего возраста производственного оборудования на 1 % рентабельность в среднем уменьшится на 0,9175 (ед). при фиксированном значении средней производительности труда на 1 работника .. Так как коэффициент b2 положительный, отрицательный, связь между Y и Х2 обратная.
Коэффициент a не следует интерпретировать, поскольку Х1=0 и Х2=0 далеко от выборочных значений.
Определим парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.
Парный коэффициент корреляции характеризует взаимосвязь между двумя переменными на фоне действия остальных показателей и является самым распространенным показателем тесноты связи при статистическом анализе данных. r*YXi находится как обычный коэффициент корреляции между двумя переменными:
r*YXi=XiY-Xi*YSXiSY
SX1=SX12=X12-(X1)2=139,1-132,25=2,62
SX2=SX22=X22-(X2)2=276,1-265,69=3,23
SY=SY2=Y2-(Y)2=108,2-100=2,86
r*YX1=X1Y-X1*YSX1SY=119,5-11,5*102,62*2,86=0,6
r*YX2=X2Y-X2*YSX2SY=154,1-16,3*103,23*2,86=-0,963
r*X1X2=X1X2-X1*X2SX2SX2=181,7-11,5*16,32,62*3,23=-0,679
Вывод: между переменными Y и X2 существует сильная обратная взаимосвязь, между переменными Y и X1 существует заметная прямая взаимосвязь, а между переменными X1 и X2 существует заметная обратная взаимосвязь.
Найдем частный коэффициенты корреляции между переменными Y и Xi с исключением влияния на их связь всех остальных независимых переменных