Полученные данные в некотором исследовании занесены в таблицу.
20 15 10 7 4 15 2 3 15 10 20 12 15 4 11
Требуется:
найти моду, медиану, размах выборки;
построить полигон частот;
построить гистограмму выборки (можно разбить на 5 интервалов);
построить эмпирическую функцию распределения;
подсчитать среднее значение и исправленную дисперсию выборки, исправленное среднее квадратическое отклонение;
найти с надежностью γ=0,95 доверительный интервал для MX.
Решение
Записав варианты в возрастающем порядке, получим вариационный ряд
2 3 4 4 7 10 10 11 12 15 15 15 15 20 20
Подсчитав частоты ni получим статистическое ряд
Варианта, xi
2 3 4 7 10 11 12 15 20
Частота, ni
1 1 2 1 2 1 1 4 2
Объем выборки n=1+1+2+1+2+1+1+4+2=15.
найти моду, медиану, размах выборки
Мода – варианта, которая имеет наибольшую частоту
Mo=15
Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Так как количество вариант равно n=2k+1=15 – нечетное число, то медиана
Me=xk+1=x8=11
xmin=2 – минимальное значение в выборке.
xmax=20 – максимальное значение в выборке.
Размах выборки
R=xmax-xmin=20-2=18
построить полигон частот
Отложив на оси абсцисс варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni; соединив точки xi,ni отрезками прямых, получим полигон частот.
построить гистограмму выборки (можно разбить на 5 интервалов)
Разобьем на 5 интервалов. Длина интервала
h=xmax-xmin5=20-25=3,6
Интервалы Середина интервала Частота, ni
Плотность частоты,
nih
2-5,6
3,8 4 1,111
5,6-9,2
7,4 1 0,278
9,2-12,8
11 4 1,111
12,8-16,4
14,6 4 1,111
16,4-20
18,2 2 0,556
Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины h=3,6
. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты nih. Например, над интервалом 2;5,6 построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии nih=43,6≈1,111, аналогично строим остальные отрезки.
построить эмпирическую функцию распределения
Варианта, xi
2 3 4 7 10 11 12 15 20
Частота, ni
1 1 2 1 2 1 1 4 2
Найдем эмпирическую функцию распределения Fx.
Наименьшая варианта равна 2, следовательно Fx=0 при x≤2;
Значение X<3, а именно x1=2, наблюдалось 1 раз, следовательно Fx=115=0,067 при 2<x≤3;
Значение X<4, а именно x1=2 и x2=3, наблюдалось 1+1=2 раза, следовательно Fx=215=0,133 при 3<x≤4;
Значение X<7, а именно x1=2, x2=3 и x3=4, наблюдалось 1+1+2=4 раза, следовательно Fx=415=0,267 при 4<x≤7;
Значение X<10, а именно x1=2, x2=3, x3=4 и x4=7, наблюдалось 1+1+2+1=5 раз, следовательно Fx=515=0,333 при 7<x≤10;
Значение X<11, а именно x1=2, x2=3, x3=4,x4=7 и x5=10, наблюдалось 1+1+2+1+2=7 раз, следовательно Fx=715=0,467 при 10<x≤11;
Значение X<12, а именно x1=2, x2=3, x3=4,x4=7, x5=10 и x6=11, наблюдалось 1+1+2+1+2+1=8 раз, следовательно Fx=815=0,533 при 11<x≤12;
Значение X<15, а именно x1=2, x2=3, x3=4,x4=7 , x5=10 , x6=11 и x7=12, наблюдалось 1+1+2+1+2+1+1=9 раз, следовательно Fx=915=0,6 при 12<x≤15;
Значение X<20, а именно x1=2, x2=3, x3=4,x4=7 , x5=10 , x6=11,x7=12 и x8=15, наблюдалось 1+1+2+1+2+1+1+4=13 раза, следовательно Fx=1315=0,867 при 15<x≤20;
Так как x=20 – наибольшая варианта, то Fx=1 при x>20.
Таким образом, эмпирическая функция распределения имеет вид
Fx=0 при x≤2;0,067 при 2<x≤3; 0,133 при 3<x≤4;0,267 при 4<x≤7;0,333 при 7<x≤10;0,467 при 10<x≤11;0,533 при 11<x≤12;0,6 при 12<x≤15;0,867 при 15<x≤20;1 при x>20.
подсчитать среднее значение и исправленную дисперсию выборки, исправленное среднее квадратическое отклонение
Варианта, xi
2 3 4 7 10 11 12 15 20
Частота, ni
1 1 2 1 2 1 1 4 2
Среднее значение
x=1ni=19xini=1152∙1+3∙1+4∙2+7∙1+10∙2+11∙1+12∙1+15∙4+20∙2=1152+3+8+7+20+11+12+60+40=16315≈10,867
Неисправленная дисперсия
D=1ni=19xi2ni-x2=11522∙1+32∙1+42∙2+72∙1+102∙2+112∙1+122∙1+152∙4+202∙2-10,8672=1154+9+32+49+200+121+144+900+800-10,8672=225915-118,0917=150,6-118,0917=35,5083
Исправленная дисперсия
s2=nn-1D=1514∙35,5083≈34,83
Исправленное среднее квадратическое отклонение
s=s2=34,83≈5,902
найти с надежностью γ=0,95 доверительный интервал для MX.
Доверительный интервал для MX при неизвестном генеральном среднеквадратическом отклонении имеет вид
x-tγsn<MX<x+tγsn
По заданным n-1=14, γ=0,95 по таблице находим tγ=2,14.
10,867-2,14∙5,90215<MX<10,867+2,14∙5,90215
Доверительный интервал для MX имеет вид
7,606<MX<14,128
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
