Показать что множество всех целых чисел

Покажем, что множество всех целых чисел удовлетворяет групповым аксиомам.
1. Замкнутость.
Операция суммирования или умножения для любых целых чисел дает также целое число, т.е. число из рассматриваемого множества.
2. Ассоциативность.
Для рассматриваемых операций результат не зависит от очередности выбора элементов нашего множества:
a+b+c≡a+b+c и a∙b∙c≡a∙b∙c
3. Наличие нулевого элемента
Для операции сложения – это нуль a+0=a, а для операции умножения – единица a∙1=a
4 . Наличие обратных элементов
Обратный элемент a-1 для операции сложения определяется из уравнения a+a-1=0, а для операции умножения a∙a-1=1.
5. Коммутативность
Результат не зависит от очередности выбора элементов нашего множества:
a+b≡b+a;a∙b≡b∙a
6. Дистрибутивность (правило раскрытия скобок)
a∙b+c≡a∙b+a∙c
Выделяем подгруппы и строим смежные классы
- числа, кратные 3
0
0 3 -3 6 -6 9…
{1}
1 -2 4 -5 7 -8…
{2}
2 -1 5 -4 8 -7…
где {0} – подгруппа, содержащая все числа, кратные трем (положительные и отрицательные), а {1} и {2} – смежные классы, содержащие соответственно числа, дающие при делении на 3 в остатке 1 и 2.
- числа, кратные 4
0
0 4 -4 8 -8 12…
{1}
1 -3 5 -7 9 -11…
{2}
2 -2 6 -6 10 -10…
3
3 -1 7 -5 11 -9…
где {0} – подгруппа, содержащая все числа, кратные четырем (положительные и отрицательные), а {1}, {2}, {3} – смежные классы, содержащие соответственно числа, дающие при делении на 4 в остатке 1, 2 и 3.
- числа, кратные 5
0
0 5 -5 10 -10 15…
{1}
1 -4 6 -9 11 -14…
{2}
2 -3 7 -8 12 -13…
3
3 -2 8 -7 13 -12…
{4}
4 -1 9 -6 14 -11…
где {0} – подгруппа, содержащая все числа, кратные пяти (положительные и отрицательные), а {1}, {2}, {3}, {4} – смежные классы, содержащие соответственно числа, дающие при делении на 5 в остатке 1, 2, 3 и 4.