По заданным уравнениям движения точки М в декартовых координатах x

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t.
πt4=x2;cosπt4=y6;
Воспользуемся известным соотношением
cosπt2+sinπt2=1
x22+y62=1;
14x2+136y2=1
Это уравнение эллипса. Центр эллипса расположен в точке (0; 0).
Траектория движения
Найдем координаты точки в момент времени t=t1=3с:
x=2∙sinπ∙34=1,414 см; y=6∙cosπ∙34=-4,243 см
Найдем проекции скорости на оси координат:
vx=dxdt=π2∙cosπt4;
vy=dydt=-3π2∙sinπt4;
Найдем скорость точки в момент времени t=3 с:
vx=π2∙cosπ∙34=-1,11cмс
vy=-3π2∙sinπ∙34=-3,32cмс
Полная скорость равна:
v=vx2+vy2=-1,112+-3,322=3,51cмс
Вектор скорости точки в заданный момент
Найдем проекции ускорения на оси координат:
ax=dvxdt=-π28∙sinπt4;
ay=dvydt=-3π28∙cosπt4;
В момент времени t=3с:
ax=-π28∙sinπ∙34=-0,87cмс2
ay=-3π28∙cosπ∙34=2,62cмс2
Полное ускорение равно:
a=ax2+ay2=0,872+2,622=2,76cмс2
Найдем касательное ускорение:
at=dvdt=vx∙ax+vy∙ayv
В момент времени t=3 с:
at=dvdt=-1,11∙(-0,87)-3,32∙2,623,51=-2,20cмс2
Найдем центростремительное ускорение:
an=a2-at2=2,762-2,202=1,67cмс2
Найдем радиус кривизны:
ρ=v2an=3,5121,67=7,38 см
Вектор ускорения точки в заданный момент