По заданной передаточной функции рассчитать импульсную реакцию дискретной системы методом вычетов

Согласно варианту задания (вариант №7), передаточная функция дискретной системы имеет следующий вид:
Hz=zz2-1.5z-1.
Рассчитаем импульсную реакцию дискретной системы методом вычетов:
Найдём полюсы передаточной функции H(z):
z2-1.5z-1=0.
Решая полученное квадратное уравнение, имеем
z1=1.5+-1.52-4⋅1⋅(-1)2=2;
z2=1.5--1.52-4⋅1⋅(-1)2=-0.5.
Полученные полюсы z1 и z2 являются простыми и вещественными.
Таким образом, передаточную функцию H(z) можно представить в виде:
Hz=zz-z1⋅(z-z2)=zz-2⋅(z+0.5) .
Импульсная реакция определяется как сумма вычетов функции Hzzn-1:
hnT=i=12resziHz⋅zn-1=i=12z-zi⋅Hz⋅zn-1z=zi.
Или
hnT=zz+0.5⋅zn-1z=2+zz-2⋅zn-1z=-0.5=0.8⋅2n-1+0.2⋅-0.5n-1.
Вычислим первые четыре значения:
h0=h0T=0.8⋅2-1+0.2⋅-0.5-1=0;
h1=h1T=0.8⋅21-1+0.2⋅-0.51-1=1;
h2=h2T=0.8⋅22-1+0.2⋅-0.52-1=1.5;
h3=h3T=0.8⋅23-1+0.2⋅-0.53-1=3.25.
Рассчитаем импульсную реакцию дискретной системы путём деления числителя на знаменатель:
Разделим числитель и знаменатель передаточной функции H(z) на z2, получаем
Hz=z-11-1.5z-1-z-2 .
Разделим числитель на знаменатель:
Таким образом, получены первые четыре значения импульсной реакции:
hnT=0;1;1.5;3.25;….
Вывод: Результаты, определённые двумя методами, полностью совпадают.
Построение структурной схемы дискретной системы:
Построение структурной схемы дискретной системы в общем виде:
Передаточной функции Hz=z-11-1.5z-1-z-2 соответствует рекурсивная дискретная цепь . Изобразим структурную схему данной цепи в общем виде на рис. 1.
Рис. 1 – Структурная схема дискретной цепи в общем виде
Построение структурной схемы дискретной системы в виде последовательного соединения фильтров:
Представим передаточную функцию дискретной системы H(z) в виде произведения дробей:
Hz=zz-2⋅(z+0.5)=zz-2⋅1z+0.5=11-2z-1⋅z-11+0.5z-1=H1z⋅H2z.
Изобразим на рис. 2 структурную схему в виде последовательного соединения фильтров с передаточными функциями H1(z) и H2(z):
Рис. 2 – Структурная схема дискретной цепи в виде последовательного соединения фильтров
Построение структурной схемы дискретной системы в виде параллельного соединения фильтров:
Представим передаточную функцию дискретной системы H(z) в виде суммы простых дробей:
Hz=z⋅WzVz=z⋅i=0QAiz-zi,
где Ak=limz→zkz-zk⋅W(z)V(z) – вычеты функции W(z)V(z)=zz(z-z1)(z-z2) , полюсы z0=0; z1=2; z2=-0.5.
A0=limz→0z⋅zzz-2z+0.5=0;
A1=limz→2z-2⋅zzz-2z+0.5=1z+0.5z=2=0.4;
A2=limz→2z+0.5⋅zzz-2z+0.5=1z-2z=-0.5=0.667.
Тогда получаем, что
Hz=z⋅0.4z-2+0.667z+0.5=0.41-2z-1+0.6671+0.5z-1=H1z+H2z.
Изобразим на рис. 3 структурную схему в виде параллельного соединения фильтров с передаточными функциями H1(z) и H2(z):
Рис. 3 – Структурная схема дискретной цепи в виде параллельного соединения фильтров
Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик дискретной системы:
Найдём комплексную частотную характеристику:
HejωT=Hzz=ejωT=z-11-1.5z-1-z-2z=ejωT.
После подстановки получаем
HejωT=e-jωT1-1.5e-jωT-e-j2ωT .
Или
HejωT=cosωT-jsin(ωT)1-1.5cosωT-cos2ωT+j[1.5sinωT+sin⁡(2ωT)] .
Амплитудно-частотная характеристика равна:
Hω=HejωT=cos2ωT+sin2ωT1-1.5cosωT-cos2ωT2+1.5sinωT+sin2ωT2
Упрощая, получаем
Hω=14.25-2cos⁡(2ωT) .
Фазочастотная характеристика равна:
φω=argHejωT=-ωT-arctg1.5sinωT+sin2ωT1-1.5cosωT-cos2ωT.
Построим графики АЧХ и ФЧХ в программе MathCad на рис