По выборке построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму

N=ni=9+11+15+20+27+19+16+6=123 – объем выборки.
Эмпирическая функция распределения
Fnx=nxn
Если x≤15, то Fnx=0, так как нет ни одного значения X левее 15.
Если 15<x≤18, то Fnx=9123≈0,0732.
Если 18<x≤21, то Fnx=9+11123=20123≈0,1626.
Если 21<x≤24, то Fnx=9+11+15123=35123≈0,2846.
Если 24<x≤27, то Fnx=9+11+15+20123=55123≈0,4472.
Если 27<x≤30, то Fnx=9+11+15+20+27123=82123≈0,6667.
Если 30<x≤33, то Fnx=9+11+15+20+27+19123=101123≈0,8211.
Если 33<x≤36, то Fnx=9+11+15+20+27+19+16123=117123≈0,9512.
Если x>36, то Fnx=1.
Эмпирическая функция распределения имеет вид
Fx=0, если x≤15,9123, если 15<x≤18,20123, если 18<x≤21,35123, если 21<x≤24,55123, если 24<x≤27,82123, если 27<x≤30,101123, если 30<x≤33,117123, если 33<x≤36,1, если x>36.
Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы шириной h=3, а высотами отрезки длиной ninh.
Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу.
xi
15 18 21 24 27 30 33 36
Интервалы 13,5 – 16,5 16,5 – 19,5 19,5 – 22,5 22,5 – 25,5 25,5 – 28,5 28,5 – 31,5 31,5 – 34,5 34,5-37,5
ninh
0,0244 0,0298 0,0407 0,0542 0,0732 0,0515 0,0434 0,0163
Выборочное среднее
x=1nxini=112315∙9+18∙11+21∙15+24∙20+27∙27+30∙19+33∙16+36∙6=1123135+198+315+480+729+570+528+216=3171123≈25,78
Смещенная оценка выборочной дисперсии
D=1nxini-x2=1123152∙9+182∙11+212∙15+242∙20+272∙27+302∙19+332∙16+362∙6-25,782=11232025+3564+6615+11520+19683+17100+17424+7776-25,782=85707123-664,6084≈32,2
Исправленная выборочная дисперсии
S=nn-1D=123122∙32,2≈32,46
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
s=S=32,46≈5,7
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверим гипотезу о нормальном распределении.
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n=123, h=3,x=25,78, σ=s=5,7 . Составим расчетную таблицу (значение функции φui находим по таблице)
i
xi
ui=xi-xσ
φui
ni'=nhσ∙φui=64,74φui
1 15 -1,89 0,0669 4,33
2 18 -1,36 0,1582 10,24
3 21 -0,84 0,2803 18,15
4 24 -0,31 0,3802 24,61
5 27 0,21 0,3902 25,26
6 30 0,74 0,3034 19,64
7 33 1,27 0,1781 11,53
8 36 1,79 0,0804 5,21
Сравним эмпирические и теоретические частоты