По территориям региона приводятся данные за 20XX г. (p1– число букв в полном имени, p2 – число букв в фамилии). Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные
Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х Среднедневная заработная плата, руб. у
1 784,00 1 338,00
2 808,00 1 484,00
3 874,00 1 358,00
4 798,00 1 544,00
5 1 574,00 1 578,00
6 1 064,00 1 958,00
7 674,00 1 368,00
8 988,00 1 588,00
9 738,00 1 528,00
10 864,00 1 628,00
11 878,00 1 464,00
12 1 104,00 1 738,00
Требуется:
Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии y=a+bx.
Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
Определить среднюю ошибку аппроксимации.
Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.
Выполнить точечный и интервальный прогноз результативного признака при увеличении объясняющего признака на 25% от его среднего значения (достоверность прогноза 95%).
На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
Проверить вычисления в MS Excel.
Решение
Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии y=a+bx.
Для построения линейного уравнения парной регрессии составляем вспомогательную таблицу 2.
На основе данных таблицы 2 находим параметры регрессии:
b=xy-x×yx2-x2=1 455 294,00-929,00×1 547,83915 752,67-929,002= 0,329;
a=y-b×x=1 547,83- 0,329×929,00= 1 241,933.
Получено уравнение регрессии:
y= 1 241,933+0,329×x .
На основе полученного уравнения установлено, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастет в среднем на 0,329 руб.
После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7 – 10 вспомогательной таблицы 2.
Таблица 2 – Вспомогательная таблица
№ х у ух х² у² ŷ у-ŷ (у-ŷ)² Аi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 784,00 1 338,00 1 048 992,00 614 656,00 1 790 244,00 1 500,09 -162,09 26 272,49 12,11
2 808,00 1 484,00 1 199 072,00 652 864,00 2 202 256,00 1 507,99 -23,99 575,55 1,62
3 874,00 1 358,00 1 186 892,00 763 876,00 1 844 164,00 1 529,72 -171,72 29 488,79 12,65
4 798,00 1 544,00 1 232 112,00 636 804,00 2 383 936,00 1 504,70 39,30 1 544,66 2,55
5 1 574,00 1 578,00 2 483 772,00 2 477 476,00 2 490 084,00 1 760,22 -182,22 33 203,45 11,55
6 1 064,00 1 958,00 2 083 312,00 1 132 096,00 3 833 764,00 1 592,29 365,71 133 746,75 18,68
7 674,00 1 368,00 922 032,00 454 276,00 1 871 424,00 1 463,87 -95,87 9 190,53 7,01
8 988,00 1 588,00 1 568 944,00 976 144,00 2 521 744,00 1 567,26 20,74 430,12 1,31
9 738,00 1 528,00 1 127 664,00 544 644,00 2 334 784,00 1 484,94 43,06 1 854,07 2,82
10 864,00 1 628,00 1 406 592,00 746 496,00 2 650 384,00 1 526,43 101,57 10 316,42 6,24
11 878,00 1 464,00 1 285 392,00 770 884,00 2 143 296,00 1 531,04 -67,04 4 494,38 4,58
12 1 104,00 1 738,00 1 918 752,00 1 218 816,00 3 020 644,00 1 605,46 132,54 17 567,62 7,63
Сумма 11 148,00 18 574,00 17 463 528,00 10 989 032,00 29 086 724,00 18 574,00
268 684,82 88,72
среднее 929,00 1 547,83 1 455 294,00 915 752,67 2 423 893,67 1 547,83
22 390,40 7,39
2095500σ
00σ
229,59 167,65
1657355080σ²
00σ²
52 711,67 28 105,64
Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
Предварительно определяем среднеквадратические отклонения признаков:
σx=x2-x2=915 752,67-929,002=229,590.
σy=y2-y2=2 423 893,67 -1 547,832=167,647.
Коэффициент корреляции составит:
ryx=b×σxσy=0,329× 229,590 167,647 = 0,451.
На основании полученного значения коэффициента корреляции можно говорить о наличии между переменными х и у умеренной, прямой корреляционной связи.
На основании коэффициента корреляции определим коэффициент детерминации:
R2=ryx2= 0,4512=0,203.
Коэффициент детерминации указывает на плохое качество подбора уравнения парной линейной регрессии, так как всего лишь 20,3% вариации у объясняется вариацией фактора х.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
Выдвигаем гипотезы:
H0: R2 = 0 – уравнение статистически не значимо;
H1: R2 ≠ 0 – уравнение статистически не значимо.
Для начала определяем фактическое значение F – критерия Фишера:
Fфакт=R21-R2×n-m-1m=0,2031-0,203×12-1-11=2,553.
Определим критическое значение критерия Фишера, используя встроенную функцию Excel «FРАСПОБР» при уровне значимости а = 0,05 и степенях свободы k1=1 и k2= 12-1-1=10 критическое значение составляет Fтабл= 4,965.
Таким образом, полученное уравнение признается статистически незначимым, поскольку Fфакт= 2,553<Fтабл=4,965, следовательно, с вероятностью 95% выявленная зависимость у от х носит случайный характер, полученное уравнение статистически незначимо.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
Выдвигаем гипотезы:
H0: a, b,ryx = 0 – коэффициенты статистически не значимы;
H1:a, b,ryx ≠ 0 – коэффициенты статистически значимы.
Осуществим предварительные расчеты:
Остаточная дисперсия на одну степень свободы:
Sост=(y-y)2n-2=268 684,8212-2= 163,916.
Определим стандартные ошибки:
ma=Sост×x2n×x2n-x2=
= 163,916 ×10 989 032,0012×10 989 032,0012-929,002= 197,227;
mb=Sостn×x2n-x2=163,91612×10 989 032,0012-929,002= 0,206;
mryx=1-ryx2n-2=1-0,20312-2=0,282.
Фактические значения критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии и корреляции:
ta=ama=1 241,933197,227=6,329; tb=bmb=0,3290,206= 1,598;
tryx=ryxmryx=0,4510,282=1,598.
Используя встроенную функцию Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х» определяем критическое значение t-критерия Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05 и степенями свободы k=12-1-1=10, находим tкрит= 2,228 .
Таким образом, можно установить статистическую значимость коэффициента регрессии а и незначимость коэффициента регрессии b и коэффициента корреляции, поскольку |tнабл ryx|=1,598< tкрит = 2,228, |tнаблa|=6,329 > tкрит = 2,228 и |tнабл b|=1,598< tкрит =2,228.
Определить среднюю ошибку аппроксимации
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
