По структурной схеме надежности технической системы

1. В исходной схеме элементы 4 , 5 , 6 и 7 образуют соединение “2 из 4”, которое заменяем квазиэлементом А (рисунок 1) .
Рисунок 1 – Схема с квазиэлементом А
Так как р4 = р5= р6= р7 , то расчет вероятности безотказной работы надежности эквивалентного элемента А, cостоящего из равнонадежных элементов и представляющего собой соединение типа «m из n», выполняется с использованием комбинаторного метода, основанного на биномиальном распределении.
В этом случае вероятность безотказной работы рA рассчитывается по формуле:
pA= mnCnmpim(1-pi)n-m, (1)
где m – количество элементов, при которых эквивалентный элемент
исправен ( m =4;3;2 );
n - количество элементов соединения, (n=4);
Сnm - биномиальный коэффициент, называемый “числом сочетаний
по m из n“
Биномиальный коэффициент определяется по формуле:
Cnm =n!m!(n-m)! , (2)
Подставив количество элементов соединения n = 4 и количество элементов, при котором соединение работоспособно m = 4; 3; 2 в формулу (1), при условии pi=p4=p5=p6=p7 , получим:
pA= C44pi4(1-pi)4-4+ C43pi3(1-pi)4-3+C42pi2(1-pi)4-2=
=4!4!(4-4)!pi4 (1-pi)0+ 4!3!(4-3)!pi3 (1-pi)1+
+4!2!(4-2)!pi2 (1-pi)2 =pi4+4pi3(1-pi)+6pi2(1-pi)2=
=pi4+4pi3-4pi4+6pi2-12pi3+6pi4=6pi2-8pi3+3pi4, (3)
Так как принимали pi=p4=p5=p6=p7, то формулу (3) для дальнейших расчетов запишем в виде:
pA=6p42-8p43+3p44, (4)
2. Элементы 10,11,12 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом В ( рисунок 2).
Рисунок 2 – Схема с квазиэлементами А и B
Вероятность безотказной работы системы с паралелльным соединением элементов рассчитывается по формуле:
Pпар =1 – i=1n(1-pi) , (5)
где pi – вероятность безотказной работы i-го элемента системы.
Для рассматриваемого соединения
pB =1 – i=1n=3(1-pi)=1- (1-p10)(1-p11)(1-p12), (6)
Элементы 10,11 и 12 равнонадежны, то есть р10 = р11= р12, учитывая это, получим
pB=1-(1-p10)∙(1-p11)∙(1-p12)=1-(1-p10)3, (7)
3. Элементы 13 и 14 также образуют параллельное соединение (рисунок 3), заменив которое квазиэлементом C и учитывая, что р13 =р14, получим
pc=1-(1-p13)∙(1-p14)=1-(1-p13)2, (3)
Рисунок 3 – Схема с квазиэлементами А , B и С
4. Преобразованная схема с квазиэлементами А, B и C приведена на рисунке 3. В преобразованной схеме элементы 2, 3, 8, 9 и квазиэлемент А образуют мостиковую систему, которую заменяем квазиэлементом D (рисунок 4).
Рисунок 4 – Схема с квазиэлементами А , B , С и D.
Для расчета вероятности безотказной работы квазиэлемента D воспользуемся методом разложения относительно особого элемента , в качестве которого выберем квазиэлемент элемент А. Тогда
pD=pA∙pD(pA=1)+qA∙pD(pA=0), (4)
где pD(pA=1) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы
при абсолютно надежном квазиэлементе А (рис. 5, а),
pD(pA=0) - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при
отказавшем квазиэлементе А (рис. 5, б).
Рисунок 5 – Преобразования мостиковой схемы при абсолютно
надежном (а) и отказавшем (б) элементе А
Для схемы на рисунке 5а выполняется расчет вероятности последовательного соединения двух параллельных соединений (элементов 2 и 3 с соединением элементов 8 и 9) , а для схемы на рисунке 5б – как для параллельного соединения двух последовательных соединений (элементов 2 и 8 с соединением элементов 3 и 9).Учитывая, что р2 = р3 и р8 = р9 , получим
pD=pA∙1-(1-p2)∙(1-p3)∙1-(1-p8)∙(1-p9) +
+(1-pA)∙1-(1-p2p8)∙(1-p3 p9)=pA∙1-(1-p2)2×
×1-(1-p8)2+(1-pA)∙1-(1-p2p8)2=pA(2p2-p22)×
×(2p8-p82)+(1-pA)(2p2p8+p22p82)=pAp2p8(2-p2)(2-p8)+
+p2p8(1-pA)(2-p2p8)=p2p8[pA(2-p2)(2-p8)+
+ (1-pA)(2-p2p8), (5)
5 . В преобразованной схеме элементы 1, В,C,D и 15 образуют последовательное соединение (рис. 4). Соответственно, вероятность безотказной работы всей системы будет:
P=p1∙pB∙pC∙pD∙p15 , (6)
6. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по15 подчиняются экспоненциальному закону:
pi= exp(-λit), (7)
7. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов от 1 до14 исходной схемы по формуле (7) заносятся в таблицу 1. Для элемента 15 значение интенсивности отказов не задано, поэтому его надежность не влияет на надежность системы. Максимальная наработка t выбирается такой, при которой вероятность безотказной работы всей системы P находится в пределах 0,1-0,2 . Также в таблицу заносятся результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D и всей системы в целом.
8. На рисунке 6 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
Рисунок 6 - График зависимости вероятности безотказной работы
системы P от наработки t.
9. По графику (рисунок 6) находим для γ=50% (Pγ=0,5) γ - процентный ресурс системы - tγ =0,1575∙106 ч.
Таблица 1 – Расчет вероятностей безотказной работы системы
Элементы λ∙10-6 ,
1/ч Наработка t ×10⁶ч
0 0,05 0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 tγ =0,1575 tγ′ =0,24
1 0,01 1,0 0,9995 0,9990 0,9985 0,9980 0,9975 0,9970 0,9984 0,9976
2 ,3 0,10 1,0 0,9950 0,9900 0,9851 0,9802 0,9753 0,9704 0,9844 0,9763
4,5,6,7 10,0 1,0 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,2070 0,0907
8,9 0,2 1,0 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9690 0,9531
10,11,12 10,0 1,0 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,2070 0,0907
13,14 0,50 1,0 0,9753 0,9512 0,9277 0,9048 0,8825 0,8607 0,9991 0,9979
А - 1,0 0,8282 0,4687 0,2173 0,0911 0,0361 0,0139 0,1917 0,0436
В
1,0 0,9391 0,7474 0,5311 0,3535 0,2266 0,1420 0,5013 0,2482
С
1,0 0,9994 0,9976 0,9948 0,9909 0,9862 0,9806 1,0000 0,999996
D
1,0 0,9999 0,9993 0,9982 0,9967 0,9949 0,9926 0,9980 0,9953
P
1,0 0,9379 0,7444 0,5266 0,3485 0,2218 0,1379 0,500 0,2464
10′-12′ 6,5 1,0 0,7225 0,5220 0,3772 0,2725 0,1969 0,1423 0,3592 0,2101
B′
1,0 0,9786 0,8908 0,7584 0,6150 0,4820 0,3690 0,7369 0,5072
Р′
1,0 0,9774 0,8872 0,7520 0,6062 0,4718 0,3581 0,7343 0,5036
B′′
1,0 0,9994 0,9745 0,8673 0,6875 0,4960 0,3354 0,8436 0,5326
Р′′
1,0 0,9982 0,9705 0,8600 0,6777 0,4854 0,3255 0,8407 0,5289
10