По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом задания

В заданной схеме элементы 2, 3 и 4 образуют соединение «2 из 3», которое заменяем элементом А. Так как р2=р3=р4, то для определения вероятности безотказной работы элемента А можно воспользоваться комбинаторным методом:
рА=3·р2-2·р3
Элементы 5, 6 и 7 образуют соединение «2 из 3», которое заменяем элементом В. Так как р5=р6=р7, вероятность безотказной работы элемента В определяется по формуле:
рВ=3·р2-2·р3
Элементы 8, 9 и 10 образуют соединение «2 из 3», которое заменяем элементом С. Так как р8=р9=р10, вероятность безотказной работы элемента С определяется по формуле:
рС=3·р2-2·р3
Элементы 11, 12 и 13 образуют соединение «2 из 3», которое заменяем элементом Е. Так как р11=р12=р13, вероятность безотказной работы элемента Е определяется по формуле:
рЕ=3·р2-2·р3
На основании выполненных преобразований составляем новую схему (рисунок 1), в которой, как видно, все элементы соединены последовательно.
1 А
В
С Е 14
Рисунок 1 – Преобразованная схема соединения элементов
Вероятность безотказной работы всей системы определяется по формуле:
р=р1·рА·рВ·рС·рЕ·р14
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы с 1-го по 14-й подчиняется экспоненциальному закону:
pi=exp⁡(-λi∙t)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 14 исходной схемы) для наработки до 3·106 часов представлены в таблице 1.
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С, Е, также представлены в таблице 1.
Таблица 1 – Расчет вероятности безотказной работы системы
Элемент
  λiх10^(-6)
ч(-1) Наработка t, х10^6 ч
0,5 1 1,5 2 2,5 3
1 0,03 0,9851 0,9704 0,9560 0,9418 0,9277 0,9139
2-4 0,5 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0,2865 0,2231
5-7 0,2 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488
8-10 1 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498
11-13 0,03 0,9851 0,9704 0,9560 0,9418 0,9277 0,9139
14 0,1 0,9512 0,9048 0,8607 0,8187 0,7788 0,7408
А   0,8749 0,6574 0,4586 0,3064 0,1992 0,1271
В   0,9746 0,9133 0,8333 0,7456 0,6574 0,5730
С   0,6574 0,3064 0,1271 0,0500 0,0191 0,0072
Е   0,9993 0,9974 0,9944 0,9902 0,9851 0,9791
Р
  0,5249 0,1611 0,0398 0,0087 0,0018 0,0003
На рисунке 2 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени (наработки) t.
Рисунок 2 - Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р) от времени наработки t
По графику видно, что прямая, соответствующая γ=60% (Рγ = 0,60) не пересекает искомую кривую, поэтому методом последовательных приближений находим, что γ=60% соответствует процентной наработке системы Тγ=0,43∙106 ч, для которой выполняем необходимые расчеты по определению надежности каждого элемента и всей системы (таблица 2).
По условиям задания повышенная γ-процентная наработка системы Тγ/ составит:
Тγ/=1,5∙0,43∙106 =0,645∙106 ч.
Для рассчитанного значения Тγ/ также выполняем соответствующие расчеты надежности каждого элемента и системы в целом (таблица 2, рисунок 3).
Таблица 2 - Расчет вероятности безотказной работы системы
Элемент
  λiх10^(-6)
ч(-1) Наработка t, х10^6 ч
0,5 1 1,5 2 2,5 3 0,43 0,645
1 0,03 0,9851 0,9704 0,9560 0,9418 0,9277 0,9139 0,9871 0,9808
2-4 0,5 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0,2865 0,2231 0,8065 0,7243
5-7 0,2 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,9176 0,8790
8-10 1 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,6505 0,5246
11-13 0,03 0,9851 0,9704 0,9560 0,9418 0,9277 0,9139 0,9872 0,9808
14 0,1 0,9511 0,8452 0,7216 0,6004 0,4909 0,3965 0,9579 0,9375
А   0,8749 0,6574 0,4586 0,3064 0,1992 0,1271 0,9022 0,8139
В   0,9746 0,9133 0,8333 0,7456 0,6574 0,5730 0,9807 0,9596
С   0,6574 0,3064 0,1271 0,0500 0,0191 0,0072 0,7189 0,5370
Е   0,9993 0,9974 0,9944 0,9902 0,9851 0,9791 0,9995 0,9989
Р
  0,5249 0,1611 0,0398 0,0087 0,0018 0,0003 0,6013 0,3852
Расчет показывает, что при Тγ=0,645∙106 ч для элементов преобразованной схемы р1=0,9808, рА =0,8139, рВ=0,9596, рС=0,5370, рЕ=0,9989, р14=0,9375 следовательно, из шести последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент С и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом .
Рисунок 3 - Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р) от времени наработки t для γ=60%
Для того чтобы при Тγ=0,645∙106 ч система в целом имела вероятность безотказной работы при Рγ =0,60, необходимо, чтобы элемент С имел вероятность безотказной работы:
рС=Р/(р1∙рА∙рВ·рЕ·р14);
рС=0,60/(0,9808·0,8139·0,9596·0,9989·0,9375)=0,8363.
Однако, и при таком значении рС (0,8363) элемент С останентся самым ненадежным в преобразованной системе, что не будет противоречить исходным рассуждениям.
Очевидно, что полученное значение pС=0,8363 является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее чем в 1,5 раза. При более высоких значениях pС увеличение наработки и надежности системы будет еще большим.
Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 8-10 необходимо решить следующее уравнение:
рС=3·р2-2·р3
относительно рС=0,8363. Решаем в программе MathCAD15.0:
0,8363=3·р2-2·р3→р=0,7434
Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону, то для элементов 8-10 при t=0,645·106 находим:
0,7434=exp-λi∙0,645→λ≈0,46
Таким образом, для увеличения γ - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 8-10 и снизить интенсивность их отказов с 1 до 0.46·10-6 ч-1, то есть в 2,17 раза.
Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 8-10 приведены в таблице 3