По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом 12 задания

В исходной схеме две пары элементов: 4 и 7; 6 и 8 представляют собой последовательное соединение. Но оба этих последовательных соединения в свою очередь последовательно соединены с элементом 5. Учитывая, что в соответствии с данными условия интенсивности всех этих элементов, а значит и вероятности их безотказной работы, равны между собой, то есть выполняется p4=p5=p6=p7=p8, заменяем элементы 4,5,6,7,8 квазиэлементом A, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pA=p4*p5*p6*p7*p8=p4*p4*p4*p4*p4=p45. (1)
Элементы 9,10,11 и 12 исходной схемы также соединены последовательно. Учитывая p9=p10=p11=p12, заменяем эти элементы идентичным квазиэлементом B, вероятность безотказной работы которого будет равна:
pB= p9*p10*p11*p12=p9*p9*p9*p9=p94. (2)
Преобразованная таким образом схема показана на рисунке 2.
Рисунок 2 – Преобразованная на первом этапе схема
В схеме по рисунку 2 элементы A и B образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом C, вероятность безотказной работы которого определится следующим образом:
pC=1-1-pA*1-pB. (3)
В результате этого преобразования схема принимает вид, показанный на рисунке 3.
Рисунок 3 – Преобразованная на втором этапе схема
Элементы 2, 3, 13, 14 и С на рисунке 3 образуют мостиковую схему, которую можно заменить квазиэлементом D. Для расчета его вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно любого элемента – в данном случае относительно диагонального элемента С. Тогда:
pD=pC*pDpC=1+qC*pDpC=0, (4)
где pDpC=1 и pDpC=0 – вероятности работы мостиковой схемы (рисунок 3) при абсолютно надежном (рисунок 4, а) и абсолютно ненадежном (рисунок 4, б) элементе C.
Рисунок 4. Преобразования мостиковой схемы при абсолютно надежном (а)
и отказавшем (б) элементе C
Получаем, с учетом p2=p3=p13=p14:
pD=pC*1-1-p2*1-p2*1-1-p2*1-p2+
+1-pC*1-1-p2*p2*1-p2*p2=
=pC*1-1-p222+1-pC*1-1-p222=
=pC*1-1+2*p2-p222+1-pC*1-1+2*p22-p24=
=pC*p22*2-p22+1-pC*p22*2-p22=
=p22*pC*2-p22+1-pC*2-p22. (5)
В результате третьего этапа преобразований получаем схему, показанную на рисунке 5.
Рисунок 5 – Преобразованная на третьем этапе схема
В схеме по рисунку 5 имеет место последовательное соединение трех элементов: 1, D и 15. Соответственно вероятность безотказной работы системы будет равна:
P=p1*pD*p15. (6)
Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятности безотказной работы элементов с 1 по 15 (рисунок 1) подчиняются экспоненциальному закону:
pi=e-λi*t. (7)
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1-15 по формуле (7) для наработки до 8,4*106 ч представлены в таблице 1 .
Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, С, D а также системы в целом по формулам (1) - (6) также приведены в таблице 1.
Таблица 1
Элемент λi,
10-6 1/ч Наработка t, 106 ч
1,4 2,8 4,2 5,6 7,0 8,4 2,96 4,44
1 0,02
0,97239 0,94554 0,91943 0,89404 0,86936 0,84535 0,94252 0,91503
2, 3 0,1
0,86936 0,75578 0,65705 0,57121 0,49659 0,43171 0,74379 0,64147
4, 5, 6, 7, 8 1,0
0,24660 0,06081 0,01500 0,00370 0,00091 0,00022 0,05182 0,01180
9, 10, 11, 12 2,0
0,06081 0,00370 0,00022 0,00001 0,000001 0,0000001 0,00269 0,00014
13, 14 0,1
0,86936 0,75578 0,65705 0,57121 0,49659 0,43171 0,74379 0,64147
15 0,05
0,93239 0,86936 0,81058 0,75578 0,70469 0,65705 0,86243 0,80092
А -
0,00091 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
В -
0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
С -
0,00093 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
D -
0,94038 0,81614 0,67705 0,54610 0,43238 0,33801 0,80039 0,65364
P -
0,85260 0,67088 0,50459 0,36900 0,26489 0,18774 0,65060 0,47903
2', 3', 13', 14' 0,04
0,94554 0,89404 0,84535 0,79932 0,75578 0,71462 0,88834 0,83728
D' -
0,98878 0,95973 0,91856 0,86961 0,81614 0,76057 0,95554 0,91062
P' -
0,89647 0,78891 0,68458 0,58760 0,49999 0,42245 0,77672 0,66736
2'',3'',13'',14'' -
0,98293 0,94036 0,88238 0,81614 0,74657 0,67705 0,93436 0,87145
D'' -
0,99886 0,98661 0,95098 0,88850 0,80408 0,70666 0,98388 0,94213
P'' -
0,90561 0,81100 0,70874 0,60036 0,49260 0,39251 0,79975 0,69045
На рисунке 6 показан график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.
По графику (рисунок 6) находим для γ=65 % (Pγ=0,65) γ-процентную наработку системы Tγ=2,96*106 ч. Проверочный расчет при t=2,96*106 ч показывает (таблица 1), что Pγ=0,65060≈0,65.
Исходя из задания, рассчитываем повышенный в 1,5 раза ресурс службы системы:
Tγ'=1,5*Tγ=1,5*2,96*106=4,44*106 ч.
Далее рассмотрим метод, предполагающий увеличение надежности системы за счет увеличения надежности входящих в нее элементов.
По результатам расчета (Таблица 1) видим, что при t=4,44*106 ч для элементов преобразованной схемы (Рисунок 5):
p1=0,91503; pD=0,65364; p15=0,80092.
Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент D, поэтому увеличение именно его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.
Для того, чтобы при Tγ'=4,44*106 ч система имела вероятность безотказной работы Pγ=0,65, необходимо, чтобы элемент D имел вероятность безотказной работы:
pD=Pγp1*p15=0,650,91503*0,80092=0,88693