По предприятиям легкой промышленности региона получена информация

Построение моделей регрессии
Построение линейной модели парной регрессии.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, умеренная.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: .
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.
Уравнение регрессии имеет вид: .
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 430 тыс. руб. Это свидетельствует о эффективности работы предприятий.
t y x yx x 2
1 36 70 2520 4900 -6 36 -9,4286 88,898 37,9175 -1,9175 5,32646
2 38 78 2964 6084 -4 16 -1,4286 2,04082 41,3814 -3,3814 8,89853
3 46 74 3404 5476 4 16 -5,4286 29,4694 39,6495 6,35052 13,8055
4 44 82 3608 6724 2 4 2,57143 6,61224 43,1134 0,8866 2,015
5 48 88 4224 7744 6 36 8,57143 73,4694 45,7113 2,28866 4,76804
6 42 84 3528 7056 0 0 4,57143 20,898 43,9794 -1,9794 4,71281
7 40 80 3200 6400 -2 4 0,57143 0,32653 42,2474 -2,2474 5,61856
Итого 294 556 23448 44384 0 112 0 221,714 294 1,4E-14 45,1449
Ср.знач
42 79,43 3349,71 6340,57
Таблица 1.1
Рассчитаем коэффициент детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 37,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
;
F<Fтабл = 6,61 для =0,05; k1 = m = 1, k2 = n – m – 1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, т.к. F <Fтабл.
Определим среднюю ошибку:
.
В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 6,45%.
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg = lg a +b lg x . данные приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Факт.
Y(t) lg(y) Переменная
X(t) lg(x)
1 36 1,5563 70 1,8451
2 38 1,57978 78 1,89209
3 46 1,66276 74 1,86923
4 44 1,64345 82 1,91381
5 48 1,68124 88 1,94448
6 42 1,62325 84 1,92428
7 40 1,60206 80 1,90309
28 294 11,3488 556 13,2921
Сред. знач 42 1,62126 79,43 1,89887
y
Y
x
X
YX
X2
Ei
1 36 1,5563 70 1,8451 2,87153 3,40439 37,759 -1,759 4,8861 3,09407
2 38 1,57978 78 1,89209 2,9891 3,58002 41,2752 -3,2752 8,61892 10,7269
46 1,66276 74 1,86923 3,10808 3,49403 39,5255 6,47448 14,075 41,9189
4 44 1,64345 82 1,91381 3,14526 3,66268 43,009 0,99097 2,25221 0,98203
5 48 1,68124 88 1,94448 3,26914 3,78101 45,582 2,41795 5,0374 5,8465
6 42 1,62325 84 1,92428 3,12358 3,70285 43,8703 -1,8703 4,45308 3,498
7 40 1,60206 80 1,90309 3,04886 3,62175 42,144 -2,144 5,36007 4,59686
итого 294 11,3488 556 13,2921 21,5556 25,2467 293,165 0,8349 44,6828 70,6632
Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,0589 + 0,8228X.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ŷ= 1,145 x0,823.
Определим индекс корреляции:
связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,369:
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 36,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F <Fтабл = 6,61 для = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n –m –1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, т.к. F <Fтабл.
Средняя относительная ошибка
В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,38%.
Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных