По координатам вершины пирамиды A1A2A3A4 найти длины ребер A1A2 и A1A3
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
По координатам вершины пирамиды A1A2A3A4 найти:
1) длины ребер A1A2 и A1A3,
2) угол между этими ребрами A1A2 и A1A3,
3) площадь грани A1A2A3 и длину медианы, опущенной из вершины A3,
4) объем пирамиды,
5) уравнения прямых A1A2 и A1A3,
6) уравнения плоскостей A1A2A3 и A1A2A4 и угол между ними,
7) уравнение высоты пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3.
Сделать схему с изображением пирамиды (в координатах Oxyz) и указанием проекций её вершин, а также проекции основания высоты DM (точки M) на плоскость Oxy.
A12;3;4, A27;6;3, A34;9;3, A43;6;7
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Координаты векторов.
A1A2=7;6;3-2;3;4=5;3;-1
A1A3=4;9;3-2;3;4=2;6;-1
A1A4=3;6;7-2;3;4=1;3;3
1) длины ребер A1A2 и A1A3
A1A2=52+32+-12=35
A1A3=22+62+-12=41
2) угол между этими ребрами A1A2 и A1A3
Угол между векторами можно найти по формуле:
cosB=A1A2*A1A3A1A2*A1A3Найдем угол между ребрами A1A25;3;-1 и A1A32;6;-1:
cosα=5*2+3*6+-1*-135*41≈0.766
α=arccos0.766≈0.698
3) площадь грани A1A2A3 и длину медианы, опущенной из вершины A3
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12*A1A2*A1A3
A1A2*A1A3=ijk53-126-1=i*3*-1-6*-1-j*5*-1-2*-1+k*5*6-2*3 = 3i+3j+24k
A1A2*A1A3=32+32+242=594
S=12*A1A2*A1A3=5942=3662
4) объем пирамиды
Объем параллелепипеда, построенный на векторах A1A2x1;y1;z1, A1A3x2;y2;z2, A1A4x3;y3;z3 равен:
V=16*x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V=16*53-126-1133=16*5*6*3-3*-1-3*2*3-1*-1+-1*2*3-1*6=846=14
5) уравнения прямых A1A2 и A1A3
Прямая, проходящая через точки A1x1; y1; z1 и A2x2; y2; z2, представляется уравнениями:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
Уравнение прямой A1A2=5;3;-1
x-25=y-33=z-4-1
Уравнение прямой A1A3=2;6;-1
x-22=y-36=z-4-1
6) уравнения плоскостей A1A2A3 и A1A2A4 и угол между ними
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A3x3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-2y-3z-453-126-1=0
x-2*3*-1-6*-1- y-3*5*-1-2*-1+ z-4*5*6-2*3= 3x + 3y + 24z-111=0
x+y+8z-37=0
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A4x4;y4;z4 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x4-x1y4-y1z4-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A4
x-2y-3z-453-1133=0
x-2*3*3-3*-1- y-3*5*3-1*-1+ z-4*5*3-1*3= 12x-16y+12z-24=0
3x-4y+3z-6=0
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2Уравнение плоскости A1A2A3: x+y+8z-37=0
Уравнение прямой A1A4:
x-22=y-36=z-4-1
sinγ=-4*0+-11*4+-3*3-42+-112+-32*02+42+32=0.877
γ =arcsin0.877=1.0696
Косинус угла между плоскостью A1x+B1y+C2z+D=0 и плоскостью A2x+B2y+C2z+D=0 равен углу между их нормальными векторами N1A1, B1, C1 и N2A2, B2, C2:
cosγ=A1A2+B1B2+C1C1A12+B12+C12*A22+B22+C22
Уравнение плоскости A1A2A3: x+y+8z-37=0
Уравнение плоскости A1A2A4:3x-4y+3z-6=0
cosγ=1*3+1*-4+8*312+12+82*32+-42+32=2366*34≈0.486
γ=arccos0.486=1.063
7) уравнение высоты пирамиды, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3
Прямая, проходящая через точку A4x4;y4;z4 и перпендикулярная плоскости Ax+By+Cz+D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: x+y+8z-37=0
x-x4A=y-y4B=z-z4C
x-31=y-61=z-78
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
