По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти

1) Координаты вектора и длина ребра AB :
=( -2 – 1 ; 0 – 0 ; 6 – 2 ) = ( -3 ; 0 ; 4 ), .
Координаты вектора и длина ребра AC :
=( -3 – 1 ; 1 – 0 ; 2 – 2 ) = ( -4 ; 1 ; 0 ), .
2) угол между ребрами АВ и АС.
Скалярное произведение векторов и :
·= -3 · (-4) + 0 · 1 + 4 · 0 = 12
Угол между ребрами АВ и АС:
0,58) ≈ 54,4.
3) площадь грани АВС.
Грань АВС – это треугольник, построенный на векторах Его площадь равняется половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, которая, в свою очередь равняется модулю векторного произведения этих векторов: .

=


-3 0 4
0 4
-3 4
-3 0
-4 1 0
1 0
-4 0
-4 1
= .
Тогда площадь грани АВС :
S = (ед2).
4) проекцию вектора АВ на АС.
Используем формулу:
Тогда:
5) объем пирамиды.
Объем пирамиды АВСD равняется 1/6 от объема параллелепипеда, построенного на векторах который, в свою очередь равняется модулю смешанного произведения этих трех векторов.
=( -1 – 1 ; 2 – 0 ; 4 – 2 ) = ( -2 ; 2 ; 2 )
Находим смешанное произведение этих векторов:
-3 0 4
= -3 ·
– 0 ·
+ 4 ·
=
-4 1 0
1 0
-4 0
-4 1
-2 2 2
2 2
-2 2
-2 2

То есть объем пирамиды: V = (ед3).