По известному потенциалу скорости φx y=x2-y2-xy

Найдем поле скорости
V=grad φ.
vx=∂φ∂x=∂∂xx2-y2-xy=2x-y,
vy=∂φ∂y=∂∂yx2-y2-xy=-2y-x.
Проверим, удовлетворяет ли это поле скорости условию несжимаемости
div V=∂vx∂x+∂vy∂y=∂∂x2x-y+∂∂y-2y-x=2-2=0.
Т.е . условие несжимаемости выполнено и можно найти функцию тока. Поле скорости через функцию тока выражается следующим образом
∂ψ∂y=vx=2x-y,
∂ψ∂x=-vy=2y+x.
Функция тока равна
ψx,y=x0,y0x,y∂ψ∂xdx+∂ψ∂ydy=x0,y0x,y-vydx+vxdy.
В качестве контура интегрирования возьмем ломаную, звенья которой параллельны осям координат, а начальную точку x0,y0 возьмем в начале координат 0,0.
ψx,y=0,0x,02y+xdx+x,0x,y2x-ydy=0,0x,0xdx+x,0x,y2x-ydy=
=x22(0,0)x,0+2xy-y22x,0x,y=x22+2xy-y22.
Ответ: ψx,y=x22+2xy-y22.