Вариационный ряд
- по данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды;
- построить гистограмму и полигон относительных частот;
- рассчитать несмещенные оценки мат.ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
- вычислить асимметрию и эксцесс;
- рассчитать интервальные оценки мат.ождания и дисперсии;
- проверить гипотезы о нормальном и показательном распределении генеральной совокупности.
18,53 31,02 23,2 21,18 31,02
33,85 15,7 15,4 18,95 15,7
20,5 48,3 16,23 22,4 48,3
24,01 15,95 16,49 18,53 15,95
20,97 18,04 19,66 33,85 18,04
27,81 18,23 16,37 20,5 18,23
27,81 22,49 18,16 24,01 22,49
26,09 27,18 16,37 20,97 27,18
24,95 18,95 22,32 27,81 18,95
41,05 22,4 21,02 27,81 22,4
Решение
- по данным таблицы составим интервальный и дискретный вариационные ряды
По данным выборки строим интервальный вариационный ряд. Находим размах варьирования признака Х по формуле R xmax xmin. Просматривая исходные данные, находим xmax 48,3, xmin 15,4 . Тогда R 48,3 15,432,9.
Для разбиения представленных данных на отдельные интервалы найдем число интервалов, которое определим по формуле Стерджеса
m = 1 +[3,322*lgn] = 1 + 3,322*lg50 = 7.
Длину интервалов разбиения возьмем одинаковую и определим по формуле:
Левая граница первого интервала будет равна , а его конец a1 a0 h 15,4+5=20,4. Начало второго интервала будет совпадать с концом первого, а его конец a2 20,4 5 25,4. И так далее находим границы всех 7 интервалов. Очевидно, что a8 50,4.
Подсчитываем число вариантов, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение xi, попадающее на границу интервала, относим к левому концу.
Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Варианты-интервалы 15,4-20,4 20,4-25,4 25,4-30,4 30,4-35,4 35.4-40,4 40,4-45,4 45,4-50,4
Частоты, mi
20 16 7 4 0 1 2
Контроль: mi 50 и объем выборки n 50.
Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 2).
В качестве вариантов xi берем середины интервалов интервального вариационного ряда.
Т а б л и ц а 2
Середина интервала
17,9 22,9 27,9 32,9 37,9 43,9 47,9
Частоты, mi
20 16 7 4 0 1 2
- построим гистограмму и полигон относительных частот;
Высчитаем относительные частоты (табл.3)
Т а б л и ц а 3
Интервалы Середина интервала, xi
Частоты, mi
Относительная частота, mi/n
15,4-20,4 17,9 20 0,4
20,4-25,4 22,9 26 0,32
25,4-30,4 27,9 7 0,14
30,4-35,4 32,9 4 0,08
35.4-40,4 37,9 0 0
40,4-45,4 42,9 1 0,02
45,4-50,4 47,9 2 0,04
Итого 50 1
Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны mi/n (относительные частоты) (рис.1).
Рис
. 1
Чтобы получить полигон того же распределения, соединим середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямых, то есть построим ломанную по точкам (xi; mi/n) (рис. 2).
Рис. 2
- рассчитаем несмещенные оценки мат.ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 4).
Т а б л и ц а 4
Середина интервала
xi Частоты
17,9 20 358 696,2
22,9 26 366,4 12,96
27,9 7 195,3 117,67
32,9 4 131,6 331,24
37,9 0 0 0
42,9 1 42,9 364,81
47,9 2 95,8 1161,62
∑ 50 1190 2684,5
- вычислим асимметрию и эксцесс;
Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 5).
Т а б л и ц а 5
Середина интервала
xi Частоты
17,9 20 -22497,3 233971,7
22,9 26 -2519,42 13604,89
27,9 7 -0,448 0,1792
32,9 4 389,344 1790,982
37,9 0 0 0
42,9 1 3112,136 45437,19
47,9 2 15059,07 295157,8
∑ 50 -6456,6 589962,8
коэффициент асимметрии.
As = M3/s3
где M3 - центральный момент третьего порядка.
s – исправленное среднеквадратическое отклонение.
As=(-6456,6/50)/7,33= -0,33
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Эксцесс оценивается с помощью показателя:
Ex = M4/s4-3=(589962,8/50)/7,34 -3=1,15
- рассчитаем интервальные оценки мат.ождания и дисперсии;
Доверительный интервал для оценки мат.ождания
Доверительный интервал для М.О. находим с надежностью 0,95 по формуле
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) =
0.475
tkp(γ) = 1.96
Записываем доверительный интервал
или 21,78 a 25,82.
Доверительный интервал для оценки дисперсии
Из таблицы для 2Ф(tkp) = γ, находим: tkp(γ) = 1.96
- проверим гипотезы о нормальном и показательном распределении генеральной совокупности.
Проверим гипотезу о том, что данные распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
