По данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды

- по данным таблицы составим интервальный и дискретный вариационные ряды
По данным выборки строим интервальный вариационный ряд. Находим размах варьирования признака Х по формуле R xmax xmin. Просматривая исходные данные, находим xmax 48,3, xmin 15,4 . Тогда R 48,3 15,432,9.
Для разбиения представленных данных на отдельные интервалы найдем число интервалов, которое определим по формуле Стерджеса
m = 1 +[3,322*lgn] = 1 + 3,322*lg50 = 7.
Длину интервалов разбиения возьмем одинаковую и определим по формуле:
Левая граница первого интервала будет равна , а его конец a1 a0 h 15,4+5=20,4. Начало второго интервала будет совпадать с концом первого, а его конец a2 20,4 5 25,4. И так далее находим границы всех 7 интервалов. Очевидно, что a8 50,4.
Подсчитываем число вариантов, попадающих в каждый интервал, по данным выборки. Значение xi, попадающее на границу интервала, относим к левому концу.
Сформированный интервальный вариационный ряд записываем в виде табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Варианты-интервалы 15,4-20,4 20,4-25,4 25,4-30,4 30,4-35,4 35.4-40,4 40,4-45,4 45,4-50,4
Частоты, mi
20 16 7 4 0 1 2
Контроль: mi 50 и объем выборки n 50.
Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 2).
В качестве вариантов xi берем середины интервалов интервального вариационного ряда.
Т а б л и ц а 2
Середина интервала
17,9 22,9 27,9 32,9 37,9 43,9 47,9
Частоты, mi
20 16 7 4 0 1 2
- построим гистограмму и полигон относительных частот;
Высчитаем относительные частоты (табл.3)
Т а б л и ц а 3
Интервалы Середина интервала, xi
Частоты, mi
Относительная частота, mi/n
15,4-20,4 17,9 20 0,4
20,4-25,4 22,9 26 0,32
25,4-30,4 27,9 7 0,14
30,4-35,4 32,9 4 0,08
35.4-40,4 37,9 0 0
40,4-45,4 42,9 1 0,02
45,4-50,4 47,9 2 0,04
Итого 50 1
Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны mi/n (относительные частоты) (рис.1).
Рис . 1
Чтобы получить полигон того же распределения, соединим середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямых, то есть построим ломанную по точкам (xi; mi/n) (рис. 2).
Рис. 2
- рассчитаем несмещенные оценки мат.ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 4).
Т а б л и ц а 4
Середина интервала
xi Частоты

17,9 20 358 696,2
22,9 26 366,4 12,96
27,9 7 195,3 117,67
32,9 4 131,6 331,24
37,9 0 0 0
42,9 1 42,9 364,81
47,9 2 95,8 1161,62
∑ 50 1190 2684,5
- вычислим асимметрию и эксцесс;
Данные заносим в расчетную таблицу (табл. 5).
Т а б л и ц а 5
Середина интервала
xi Частоты

17,9 20 -22497,3 233971,7
22,9 26 -2519,42 13604,89
27,9 7 -0,448 0,1792
32,9 4 389,344 1790,982
37,9 0 0 0
42,9 1 3112,136 45437,19
47,9 2 15059,07 295157,8
∑ 50 -6456,6 589962,8
коэффициент асимметрии.
As = M3/s3
где M3 - центральный момент третьего порядка.
s – исправленное среднеквадратическое отклонение.
As=(-6456,6/50)/7,33= -0,33
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Эксцесс оценивается с помощью показателя:
Ex = M4/s4-3=(589962,8/50)/7,34 -3=1,15
- рассчитаем интервальные оценки мат.ождания и дисперсии;
Доверительный интервал для оценки мат.ождания
Доверительный интервал для М.О. находим с надежностью 0,95 по формуле
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) =
0.475
tkp(γ) = 1.96
Записываем доверительный интервал
или 21,78 a 25,82.
Доверительный интервал для оценки дисперсии
Из таблицы для 2Ф(tkp) = γ, находим: tkp(γ) = 1.96
- проверим гипотезы о нормальном и показательном распределении генеральной совокупности.
Проверим гипотезу о том, что данные распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона