По данным, представленным в таблице 1.10, выполните корреляционно-регрессионный анализ зависимости между двумя признаками X и Y:
1) определите линейную модель регрессии, дайте интерпретацию ее параметров;
2) рассчитайте показатели тесноты связи между признаками (индекс корреляции, линейные коэффициенты корреляции и детерминации), сделайте выводы по их значениям;
3) проверьте статистическую значимость полученной модели регрессии и коэффициента корреляции на основе применения статистических критериев Стьюдента и Фишера;
4) выполните анализ качества полученной модели и пригодности ее для прогнозирования;
5) выполните прогноз значения результативной переменной Y на основе модели регрессии, приняв ожидаемое значение факторной переменной Х, равное среднему значению этого признака по результатам наблюдений;
6) изобразите графически исследуемую зависимость, построив поле корреляции и график линии регрессии, выведите на поле графика уравнение.
Решение
Результативная переменная Y – обхват головы щенка лабрадора в возрасте 10 мес, см; факторная переменная X – вес щенка лабрадора в возрасте 10 мес, кг
Изобразим графически корреляционную зависимость между признаками, для этого построим точечную диаграмму по данным результатов наблюдений.
Точки наблюдений лежат достаточно близко к прямой линии, поэтому можно предположить, что между переменными Y и X есть линейная взаимосвязь. Также видно, что при увеличении веса щенка происходит увеличение обхвата головы щенка.
1) Определяем линейную модель регрессии.
Уравнение линейной зависимости Y от X имеет вид
yx=a+b∙x
Параметры a и b уравнения найдем в Excel с помощью инструмента Анализ данных Регрессия.
Результаты работы инструмента Регрессия выводятся в виде таблиц
Уравнение регрессии записывается по коэффициентам из столбца Коэффициенты:
a = 10,6358
b = 1,2017
Зависимость обхвата головы щенка Y от веса щенка Х имеет вид:
yx=10,6358+1,2017∙x
Параметр a = 10,6358 измеряет усредненное влияние на обхват головы щенков (Y) не учтенных в модели факторов. То есть 10,6358 см – это обхват головы щенка независимо от его веса.
Параметр b = 1,2017 показывает, что при увеличении веса щенка (X) на 1 кг, обхват головы (Y) будет увеличиваться в среднем на 1,2017 см.
2) Определяем показатели тесноты связи.
Линейный коэффициент корреляции R и коэффициент детерминации R2 смотрим в первой таблице
Коэффициент корреляции R = 0,8820.
В соответствие со шкалой Чеддока теснота связи между переменными X и Y определяется как тесная.
Коэффициент детерминации R2 = 0,7780 показывает, что изменчивость значений обхвата головы щенков (Y) на 77,8% объясняется влиянием фактора вес щенков(Х).
3) Проверяем статистическую значимость модели и коэффициента корреляции.
Для проверки значимости модели используем критерий Фишера.
Проверяемая гипотеза Н0: уравнение регрессии незначимо, то есть между переменными нет линейной связи.
Альтернативная гипотеза Н1: линейная связь, выраженная уравнением регрессии, статистически значима.
Расчетное значение критерия Фишера выводится в таблице Дисперсионного анализа
Fрасч=28,03
Табличное значение распределения Фишера при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k1 = 1 и k2 = n – 2 = 10 – 2 = 8
Fтабл=F0,05;1;8=5,32
Так как Fрасч>Fтабл то на уровне значимости 5% гипотезу H0 отклоняем и п принимаем альтернативную: полученное уравнение регрессии статистически значимо при выбранном уровне значимости 0,05.
Для проверки значимости коэффициента корреляции используем критерий Стьюдента.
Нулевая гипотеза Н0: коэффициент корреляции R = 0 (незначим).
Альтернативная гипотеза Н1: R 0 (значим).
Расчетное значение критерия Стьюдента
tрасч=R*n-21-R2=0,8820*10-21-0,88202=5,294
Табличное значение распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2 = 8
tтабл=t0,05;8=2,306.
Так как tрасч>tтабл то на уровне значимости 5% гипотезу H0 отклоняем и принимаем альтернативную: рассчитанный по выборке коэффициент корреляции R статистически значим на выбранном уровне значимости 0,05; включенный в уравнение регрессии фактор Х влияет на результативный признак Y.
Вывод по пункту 3): вес десятимесячных щенков влияет на обхват головы щенков.
4) Выполняем анализ качества модели.
Проверка качества полученной модели и пригодности ее для прогнозирования осуществляется подтверждением статистической значимости модели, а также путем расчета средней ошибки аппроксимации.
Статистическая значимость модели проверена выше критерием Фишера
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
