По данной выборке:
xi
15 17 19 21 23
ni
1 8 7 5 4
Найти относительные частоты и построить полигон частот.
Построить эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.
Методом моментов найти точечные оценки параметров a и σ2 нормально распределенной случайной генеральной совокупности.
Построить доверительные интервалы надежности γ=0,95 для оценки параметров a и σ2 нормально распределенной случайной генеральной совокупности.
При уровне значимости α=0,02 проверить гипотезы о числовых значениях параметров:
H0:a=a0=20 при H1:a<20;
H0:σ2=σ02=6 при H1:σ2>6.
Решение
Найти относительные частоты и построить полигон частот.
Объем выборки: n=i=1kni=1+8+7+5+4=25
Найдем относительные частоты по формуле: wi=nin и отразим результаты в таблице 1:
xi
15 17 19 21 23
ni
1 8 7 5 4
wi
0,04 0,32 0,28 0,2 0,16
Построим полигон частот. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются варианты xi , по оси ординат – частоты wi, начало системы координат совмещено с точкой (xmin , 0), изобразим точки Mi(xi, цi) и соединим их отрезками.
Построить эмпирическую функцию распределения
Наименьшее значение xi равно 15, значит, Fx=0 при x≤15.
Значение X<17 (x=15) наблюдалось 1 раз, значит, Fx=125=0,04 при 15<x≤17.
Значение X<19 (x=15 и x=17) наблюдалось 1+8=9 раз, значит, Fx=925=0,36 при 17<x≤19.
Значение X<21 (x=15, x=17, x=19) наблюдалось 1+8+7=16 раз, значит, Fx=1625==0,64 при 19<x≤21.
Значение X<23 (x=15, x=17, x=19, x=21) наблюдалось 1+8+7+5=21 раз, значит, Fx=2125=0,84 при 21<x≤23.
Наибольшее значение xi равно 23, значит, Fx=1 при x>23.
Получим:
Fx=0x≤150,04,15<x≤170,36,17<x≤190,64,19<x≤210,84,21<x≤231,x>23
Построим график эмпирической функции. По оси абсцисс откладываем интервалы, по оси ординат соответствующие значения функции.
Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:
mx=x=i=1knixin
Получим:
mx=1∙15+8∙17+7∙19+5∙21+4∙2325=19,24
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
s2=nn-1∙Dв=ni(xi-x)2n-1
Промежуточные вычисления сведем в таблицу 2:
xi
ni
xi-x
(xi-x)2
ni(xi-x)2
15 1 -4,24 17,978 17,978
17 8 -2,24 5,018 40,141
19 7 -0,24 0,058 0,403
21 5 1,76 3,098 15,488
23 4 3,76 14,138 56,550
15 1 -4,24 17,978 17,978
=130,56
Получим несмещенную оценку дисперсии:
Dx=s2=130,5624=5,44
Выборочное среднее квадратическое отклонение: s=s2=2,332
Методом моментов найти точечные оценки параметров a и σ2 нормально распределенной случайной генеральной совокупности.
Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка, а центральный теоретический момент второго порядка – центральному эмпирическому моменту второго порядка:
ν1=M1, μ2=m2
Учитывая, что ν1=MX, M1=xв, μ2=DX, m2=Dв, имеем:
MX=xвDX=Dв
Таким образом, точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя xв, точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия Dв.
a*=19,24 (выборочная средняя найдена в п
. 3).
σ2*=Dв=ni(xi-x)2n=130,5625=5,222 (числитель найден в табл
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
