По заданной передаточной функции разомкнутой системы Ws

Характеристическое уравнение разомкнутой системы:
Qp=pp+2p2+2p+2=0
Находим полюса:
p=0 p1=0
p+2=0 p2=-2
p2+2p+2=0 p3,4=-2±-42=-1±i
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
pp+2p2+2p+2+kp+3=p4+4p3+6p2+4+kp+3k=0
Т.к. уравнение имеет четвертый порядок, то у корневого годографа четыре ветви.
Имеем только один нуль разомкнутой системы (Bp=p+3 N1=-3), поэтому одна ветвь идет в нуль, а остальные ветви уходят в бесконечность, из вещественных полюсов p1=0, p2=-2 ветви выходят под углом 0, ±π.
Наносим полюсы на вещественную ось. Определим, какие отрезки вещественной оси принадлежат годографу. Согласно свойству 6 ветвь из полюса p1=0 может идти только влево, а из полюса p2=-2 – только вправо. Тогда обе ветви идут навстречу друг другу, а значит, в какой-то точке вещественной оси они встретятся (эта точка будет соответствовать кратному корню) и разойдутся в бесконечность.
Используя свойство 9, найдем кратный корень.
Запишем систему уравнений вида:
Qp+kBp=0dQpdp+kdBpdp=0
В нашем случае:
p4+4p3+6p2+4+kp+3k=04p3+12p2+12p+4+k=0
Решая полученную систему, находим: p1*≈-1,54;p2*≈-3,65
Таким образом, две ветви корневого годографа встретятся в точке p1*, разойдутся, по окружности диаметра -3,65- -1,54 =2,11 , с центром в точке -3,65+(-1,54)2=-2,595 , перейдут в точку p2* и потом одна ветвь пойдет в нуль N1, а вторая ветвь пойдет в бесконечность.
Используя свойство 7, найдем асимптоты . Асимптоты выходят из точки (σa ,0), находящейся на отрицательной действительной оси, с абсциссой:
σa=i=1npi-j=1mNjn-m=0-2-1-j-1+j+34-1=-13
под углами:
θa=2r+1πn-m,r=0,n-m-1
Значит, θa1=π3,θa2=π,θa3=5π3
Т.е. корневой годограф имеет вид:
Найдем критический коэффициент усиления, при котором замкнутая система выйдет на границу устойчивости. Для этого воспользуемся критерием Гурвица. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:
p4+4p3+6p2+4+kp+3k=0
Определитель Гурвица:
44+k00163k0044+k00163k
Условие выхода на границу устойчивости имеет вид ∆=k∆3=0. Поскольку k≠0, то ∆3=0.
∆3=44+k0163k044+k=4∙63k44+k-4+k044+k=-k2-32k+80
Тогда:
kкрит=-16+421≈2,33
Найдем углы выхода из комплексных полюсов