По статистическим данным задачи составить вариационные и интервальные ряды (рекомендация – образовать порядка 10 групп данных)

Составим вариационный ряд, для этого подсчитаем вхождение каждой варианты в статистический ряд.
xi
42 50 56 61 68 73 80 85 90 98
ni
1 2 3 4 3 3 8 5 1 1
Объем выборки равен n=31
xmax=98 xmin=42
Разобьем выборку на интервалы. Количество интервалов вычислим по формуле Стерджеса (при таком количестве данных разбивать выборку на 10 интервалов нецелесообразно):
k=1+3,322lgn=1+3,322lg31≈6
Длина интервала:
h=xmax-xmink=98-426≈9,4
За начало первого интервала примем xmin. Подсчитаем количество попаданий в каждый из интервалов:
Относительная частота попадания в интервал:
ωi=nin
Интервал [42;51,4)
[51,4;60,8)
[60,8;70,2)
[70,2;79,6)
[79,6;89)
[89;98,4)
Середина, xi
46,7 56,1 65,5 74,9 84,3 93,7
Частота, ni
3 3 7 3 13 2
Относительная частота, ωi
0,097 0,097 0,226 0,097 0,419 0,064
Построим гистограмму относительных частот:
Вычислим характеристики:
Выборочное среднее:
x=1n∙i=16xi∙ni=46,7∙3+56,1∙3+65,5∙7+74,9∙3+84,3∙13+93,7∙231=
=2274,931≈73,38
Дисперсия:
DВ=1n∙i=16xi2∙ni-x2=
=46,72∙3+56,12∙3+65,52∙7+74,92∙3+84,32∙13+93,72∙231-73,382=
=172789,831-5384,62=189,24
Исправленная дисперсия:
S2=nn-1∙DВ=3130∙189,24=195,55
Исправленное среднеквадратическое отклонение:
s=S2=13,98
Доверительные интервалы:
Для генерального среднего:
x-tβ∙sn;x+tβ∙sn
tβ найдем по таблице распределения Стьюдента :
tβ0,95;31=2,042
tβ∙sn=2,042∙13,9831≈5,13
68,25;78,51
Для среднеквадратического отклонения:
s∙1-q;s∙1+q
По таблице значений параметра q определяем: q0,95;31=0,26
13,98∙0,74;13,98∙1,26 10,35;17,61
Выдвинем гипотезу о том, что совокупность распределена по нормальному закону с параметрами:
a≈x=73,38 σ≈s=13,98
Вычислим теоретические частоты попадания в интервалы:
ni'=pi∙n pi=Фxi+1-aσ-Фxi-aσ
p1=Ф51,4-73,3813,98-Ф42-73,3813,98=Ф-1,57-Ф-2,24=
=Ф-1,57+Ф2,24=-0,4418+0,4875=0,0457 n1'=1,42
p2=Ф60,8-73,3813,98-Ф51,4-73,3813,98=Ф-0,9-Ф-1,57=
=Ф-0,9+Ф1,57=-0,3159+0,4418=0,1259 n2'=3,9
p3=Ф70,2-73,3813,98-Ф60,8-73,3813,98=Ф-0,23-Ф-0,9=
=Ф-0,23+Ф0,9=-0,091+0,3159=0,2249 n3'=6,97
p4=Ф79,6-73,3813,98-Ф70,2-73,3813,98=Ф0,44-Ф-0,23=
=Ф0,44+Ф0,23=0,17+0,091=0,261 n4'=8,09
p5=Ф89-73,3813,98-Ф79,6-73,3813,98=Ф1,11-Ф0,44=
=0,3665-0,17=0,1965 n5'=6,09
p6=Ф98,4-73,3813,98-Ф89-73,3813,98=Ф1,79-Ф1,11=
=0,4633-0,3665=0,0968 n6'=3
Вычислим значение статистики:
χнабл2=i=16(ni-ni')2ni'
Составим расчетную таблицу:
ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
3 1,42 1,58 2,5 1,758
3 3,9 -0,9 0,81 0,208
7 6,97 0,03 0 0
3 8,09 -5,09 25,91 3,202
13 6,09 6,91 47,75 7,84
2 3 -1 1 0,333

13,341
χнабл2=13,341
По таблице критических значений при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы r=6-2-1=3, находим:
χкрит20,05;3=7,81
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.