Плотность распределения вероятностей случайной величины X имеет вид

Неизвестное число k
Найдем уравнение прямой на интервале -1;0
x+1-1-0=y-00-2k
y=2kx+1
Найдем уравнение прямой на интервале 0;1
x-00-1=y-2k2k-k
y=k2-x
Найдем уравнение прямой на интервале 1;3
y=k
Плотность распределения имеет вид
fx=0, x<-1,2kx+1, -1≤x<0,k2-x, 0≤x<1,k, 1≤x<3,0, x≥3
Плотность распределения fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞-10dx+-102kx+1dx+01k2-xdx+13kdx+3∞0dx=2k-10x+1dx-k01x-2dx+k13dx=2kx22+x-10-kx22-2x01+kx13=-2k12-1-k12-2+3k-k=k+3k2+2k=9k2=1
9k2=1
k=29
Плотность распределения имеет вид
fx=0, x<-1,49x+1, -1≤x<0,292-x, 0≤x<1,29, 1≤x<3,0, x≥3
функцию распределения случайной величины Fx и построить ее график
Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если x<-1, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если -1≤x<0, то
Fx=-∞-10dx+-1x49x+1dx=49x22+x-1x=49x22+x-4912-1=2x2+4x+29
Если 0≤x<1, то
Fx=-∞-10dx+-1049x+1dx+0x292-xdx=49x22+x-10+292x-x220x=-4912-1+292x-x22=29+4x9-x29=2+4x-x29
Если 1≤x<3, то
Fx=-∞-10dx+-1049x+1dx+01292-xdx+1x29dx=49x22+x-10+292x-x2201+29x1x=-4912-1+292-12+29x-29=29+39-29+29x=3+2x9
Если x≥3, то
Fx=-∞-10dx+-1049x+1dx+01292-xdx+1329dx+3+∞0dx=49x22+x-10+292x-x2201+29x13=-4912-1+292-12+69-29=29+39-29+69=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x<-1,2x2+4x+29, -1≤x<0,2+4x-x29, 0≤x<1,3+2x9, 1≤x<3,1, x≥3
математическое ожидание MX
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞-1x∙0dx+-10x∙49x+1dx+01x∙292-xdx+13x∙29dx+3+∞x∙0dx=49x33+x22-10+29x2-x3301+19x213=-49-13+12+291-13+1-19=-227+427+89=2627≈0,963
дисперсию DX
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞-1x2∙0dx+-10x2∙49x+1dx+01x2∙292-xdx+13x2∙29dx+3+∞x2∙0dx-26272=49x44+x33-10+292x33-x4401+29x3313-26272=-4914-13+2923-14+2-227-26272=127+554+5227-26272=11154-676729=2997-13521458=16451458≈1,1283