Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Параметр a
Плотность распределения fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞30dx+35ax-32dx+5∞0dx=a235(x-3)dx=a2x-32235=a=1
a=1
Плотность распределения имеет вид
fx=0, -∞<x≤3;x-32, 3<x<5;0, 5≤x<+∞.
интегральную функцию распределения Fx
Используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если -∞<x≤3, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если 3<x<5, то
Fx=-∞30dt+3xt-32dt=t-3243x=x-324
Если 5≤x<+∞, то
Fx=-∞30dt+35t-32dt+5x0dt=t-32435=1
Интегральная функция распределения имеет вид
Fx=0, при -∞<x≤3;x-324, при 3<x<5;1, при 5≤x<+∞.
вероятность попадания случайной величины X в интервал 4;6
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a,b, равна приращению функции распределения на этом интервале
Pa<X<b=Fb-Fa
Положив, a=4, b=6, получим
P4<X<6=F6-F4=1-4-324=1-14=34=0,75
математическое ожидание MX и дисперсию DX
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞3x∙0dx+35x∙x-32dx+5∞x∙0dx=1235x2-3xdx=12x33-3x2235=12∙1253-752-9+272=12∙250-225-54+816=12∙526=133≈4,3333
Дисперсия
DX=MX2-MX2=-∞∞x2fxdx-MX2=35x2∙x-32dx-1332=12-24x3-3x2dx-1332=12x44-3x3335-1699=12∙6254-125-814+27-1699=19-1699=29≈0,2222
Построить графики функций fx и Fx.
Ответ: a=1; Fx=0, при -∞<x≤3;x-324, при 3<x<5;1, при 5≤x<+∞