Плотность вероятности случайной величины X задана выражением

Постоянный параметр С.
По свойству плотности распределения
-∞+∞pxdx=1
учитывая, что при x<0 и x>2 px=0, получим
-∞+∞pxdx=-∞00dx+02C1-x2dx+2+∞0dx=02C1-x2dx=02Cdx-02Cx2dx=Cx02-Cx2402=2C-C=C=1
C=1
Плотность вероятности имеет вид
px=0 при x≤01-x2 при 0<x≤2 0 при x>2
Функцию распределения FX.
Функция распределения с плотностью распределения связаны формулой
Fx=-∞xptdt
Так как px≠0 только для 0<x≤2, то по свойству Fx имеем: Fx=0 при x<0; Fx=1 при x>2.
Для 0<x≤2
Fx=0x1-t2dt=0xdt-0xt2dt=t0x-t240x=x-x24
Функция распределения имеет вид
Fx=0 при x≤0x-x24 при 0<x≤2 1 при x>2
математическое ожидание М(X).
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X
MX=-∞+∞x∙pxdx=-∞0x∙0dx+02x∙1-x2dx+2+∞x∙0dx=02x∙1-x2dx=02xdx-02x22dx=x2202-x3602=2-43=23≈0,667
среднее квадратическое отклонение σX.
Сначала найдем дисперсию
DX=-∞+∞x2∙pxdx-MX2=-∞0x2∙0dx+02x2∙1-x2dx+2+∞x2∙0dx-232=02x2∙1-x2dx-49=02x2dx-02x32dx-49=x3302-x4802-49=83-2-49=23-49=29≈0,222
Среднее квадратическое отклонение
σX=DX=29≈0,471
вероятность попадания Х в (1;2).
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал α, β можно найти по формуле
Pα<x<β=Fβ-Fα
P1<x<2=F2-F1=1-1-14=1-34=14=0,25
построить графики р(х) и F(x).