Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

А) Найдем параметр a по формуле. Используем основное свойство плотности вероятности:
-∞+∞fxdx=1
12ax-1dx=ax22-x12=a222-2-a122-1
a222-2-a122-1=1
a*0-a*-12=1
a2=1
a=2
fx=0, -∞<x≤12x-1, 1<x<20, 2<x<+∞
б) Найдем функцию распределения по формуле:
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤1, то fx=0, следовательно:
Fx=-∞10dx=0
Если 1<x≤2, то
Fx=-∞10dt+1x2t-1dt=2x22-x1x=2x22-x-2122-1=x-12
Если 2≤x<+∞, то
Fx=-∞10dt+122t-1dt+2x0dt=2x22-x12=2222-2-2122-1=1
Итак, искомая функция распределения
Fx=0, -∞<x≤1x-12, 1<x<21, 2<x<+∞
в) Так как значения случайной величины распределены на интервале (1;2) и левее данного интервала F(x)=0, то интервал (1.5;3) заменим на интервал (1.5;2), тогда
P1.5;2=F2-F1.5=2-12-1.5-12=0.75
г) Найдем математическое ожидание:
MX=12xfxdx=12x*2x-1dx=122x2-2xdx=2x33-2x2212=2x33-x212=2*233-22-2*133-12=53
Найдем дисперсию:
DX=12x2fxdx-MX2=12x2*2x-1dx-532=122x3-2x2dx-532=2x44-2x3312-532=x42-2x3312-532=242-2*233-142-2*133-532=118
д) Построим графики функций f(x) и F(x)