Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 4.1- 4.20).
В цепи действует постоянная ЭДС Е.
Параметры цепи приведены в табл. 4.1.
Требуется определить закон изменения во времени тока после коммутации в одной из ветвей схемы или напряжения на каком либо элементе или между заданными точками схемы. Задачу следует решать классическим методом расчета. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/pmin, где pmin – меньший по модулю корень характеристического уравнения. Указания: 1. Уравнения для изображений схемы (рис. 4.2) рекомендуется составлять по методу узловых потенциалов. 2. С целью упрощения составления характеристического левую часть рис. 4.11 (Е, R1, R2, R3) рекомендуется в расчетном смысле заменить эквивалентным источником с некоторой ЭДС и некоторым внутренним сопротивлением.
Решение
До коммутации цепи величина эквивалентного входного сопротивления равна
Rвх=R1+R2+R4∙R3R4+R3=50+50+1000∙10001000+1000=600 Ом
i0-=ERвх=120600=0,2A
i10-=i0-R3R4+R3=0,2∙10001000+1000=0,1A
i20-=0
i30-=i10-=0,1A
i40-=i0--i10-=0,1A
UC0-=i30-∙R4=0,1∙1000=100 В
Заданная RLC-цепь содержит два независимых реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия.
Независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения
UC0+=UC0-=100 В
iL0+=i10-=0,1A
Составим основную систему уравнений, состоящую из независимых уравнений баланса токов и напряжений и компонентных уравнений, связывающих между собой ток и напряжение на зажимах элементов:
Цепь после коммутации
i1=i2+i3 по первому закону Кирхгофа
i1R1+R2+i3∙R4+UL=E по второму закону Кирхгофа
i3∙R4-UC=0 по второму закону Кирхгофа
Ток на конденсаторе
i2=ic=CdUCdt
Ток на катушке
UL=Ldi1dt
Ток на резисторе R4
i3=UCR4
Из второго уравнения находим
i1=E-UL-i3∙R4R1+R2
i1=CdUCdt+UCR4
di1dt=dUCdt+Cd2UCdt2
UL=LdUCdt+LCd2UCdt2
E-LdUCdt-LCd2UCdt2-UCR1+R2-CdUCdt-UCR4=0
LC1R1+R2d2UCdt2+dUCdt∙LR1+R2+C+UC∙(1R1+R2+1R4)=ER1+R2
LCd2UCdt2+dUCdtL+CR1+R2+UC∙R1+R2+R4R4=E
d2UCdt2+L+CR1+R2LC∙dUCdt+R1+R2+R4R4LC∙UC=ELC
На основании дифференциального уравнения запишем характеристическое уравнение цепи
p2+L+CR1+R2LCp+R1+R2+R4R4LC=0
L+CR1+R2LC=10-3+10-650+5010-3∙10-6=1,1∙106
R1+R2+R4R4LC=50+50+10001000∙10-3∙10-6=1,1∙109
p2+1,1∙106p+1,1∙109=0
p1,2=-1,1∙106±(1,1∙106)2-4∙1,1∙1092
p1=-1000,91c;p2=-1099∙1031c;
Характеристическое уравнение имеет два корня, выражение для свободной составляющей uC св напряжения на емкости определяется выражением
UCсв=A1ep1t+A1ep2t
Частное решение дифференциального уравнения:
UCч=At2+Bt+D
dUCчdt=2At+B
d2UCчdt2=2A;
После подстановки в дифференциальное уравнение получим
A=0;B=0;D=E∙R4R1+R2+R4=120∙10001100=109,09 В
UC=A1ep1t+A2ep2t+109,09
При t=0 UC0+=UC0-=100 В
A1+A2+109,09=100;→A1+A2=-9,09
ic=CdUCdt=C(p1A1ep1t+p2A2ep2t)
ic0+=C(p1A1+p2A2)
i30+=UC0+R4=0,1A
Cp1A1+p2A2+0,1=0,1
p1A1+p2A2=0
A2=-A1p1p2=-0,000911A1
A1-0,000911A1=-9,09
A1=-9,098; A2=0,0083
UC=-9,098e-1000,9t+0,0083e-1099∙103t+109,09
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
