Парная регрессия и корреляция
Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж пропорционально расходам на рекламу, необходимо:
Таблица 1.
Вариант Расходы на рекламу xi, млн. р.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Количества продаж yi, тыс. ед.
3. 32,4 32,4 34,8 37,1 38,0 38,7 38,6 39,9 43,8 43,5
Требуется:
1. Методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ;
2. Найти коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности проверить его значимость;
3. Проверить на уровне значимости регрессионную модель на адекватность;
4. Найти стандартные ошибки параметров уравнения a и b;
5. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.
Решение
Методом наименьших квадратов найдем уравнение линейной регрессии ;
Суть метода наименьших квадратов (МНК) заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.
Формально критерий МНК можно записать так:
Система нормальных уравнений имеет вид:
Для дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу:
Таблица 1
Вспомогательная таблица
i
1 0 32,4 0 1049,76 0
2 0,5 32,4 0,25 1049,76 16,2
3 1 34,8 1 1211,04 34,8
4 1,5 37,1 2,25 1376,41 55,65
5 2 38 4 1444 76
6 2,5 38,7 6,25 1497,69 96,75
7 3 38,6 9 1489,96 115,8
8 3,5 39,9 12,25 1592,01 139,65
9 4 43,8 16 1918,44 175,2
10 4,5 43,5 20,25 1892,25 195,75
22,5 379,2 71,25 14521,32 905,8
2,25 37,92 7,125 1452,132 90,58
Для исходных данных система уравнений имеет вид:
Решим систему уравнений:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:
; .
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
2) Найдем коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности проверить его значимость.
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
i
1 0 32,4 32,18182 22,09 0,047603 2,25
2 0,5 32,4 33,45697 22,09 1,117185 1
3 1 34,8 34,73212 5,29 0,004608 0,25
4 1,5 37,1 36,00727 0 1,194053 0
5 2 38 37,28242 0,81 0,514915 0,25
6 2,5 38,7 38,55758 2,56 0,020285 1
7 3 38,6 39,83273 2,25 1,519617 2,25
8 3,5 39,9 41,10788 7,84 1,458971 4
9 4 43,8 42,38303 44,89 2,007803 6,25
10 4,5 43,5 43,65818 40,96 0,025021 9
Сумма 22,5 379,2 379,2 148,78 7,910061 26,25
Определим параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние:
;
;
.
Выборочные дисперсии:
;
.
Среднеквадратическое отклонение:
;
.
Рассчитываем показатель тесноты связи
. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
.
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока.
Таким образом, по результатам расчетов можем сделать вывод, что связь между признаком Y (количество продаж) и фактором X (расходы на рекламу) весьма высокая и прямая.
Выполним проверку значимости коэффициента корреляции. Это выполняется как решение следующей задачи проверки статистической гипотезы.
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными.
Для того чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки):
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкр двусторонней критической области
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
