Парная регрессия и корреляция. Имеются данные о количестве копий

1. Для условия задачи поле корреляции выглядит следующим образом (рисунок 1):
Рисунок 1 – поле корреляции результативного и факторного признаков
На основе построенного корреляционного поля фактора и признака, можно предположить о наличии между ними прямой корреляционной связи вида: ŷ = a + bx.
2) Определим параметры уравнения парной линейной регрессии. Вычисления представим в таблице 2.
Таблица 2
Результаты вычислений
№ Х у x-x
(y-y)
x-x² (y-y)²
x-x
×
(y-y)
ŷ е
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 16,00 1,40 -16,00 -0,90 256,00 0,81 14,40 1,38 0,02
2 19,00 1,60 -13,00 - 0,70 169,00 0,49 9,10 1,55 0,05
3 24,00 1,70 - 8,00 - 0,60 64,00 0,36 4,80 1,84 -0,14
4 26,00 1,75 - 6,00 - 0,55 36,00 0,30 3,30 1,95 - 0,20
5 28,00 1,85 -4,00 -0,45 16,00 0,20 1,80 2,07 -0,22
6 29,00 2,40 - 3,00 0,10 9,00 0,01 - 0,30 2,13 0,27
Продолжение таблицы 2
№ Х у x-x
(y-y)
x-x² (y-y)²
x-x
×
(y-y)
ŷ е
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 33,00 2,70 1,00 0,40 1,00 0,16 0,40 2,36 0,34
8 39,00 2,80 7,00 0,50 49,00 0,25 3,50 2,70 0,10
9 40,00 2,80 8,00 0,50 64,00 0,25 4,00 2,76 0,04
10 41,00 2,70 9,00 0,40 81,00 0,16 3,60 2,82 -0,12
11 44,00 2,90 12,00 0,60 144,00 0,36 7,20 2,99 -0,09
12 45,00 3,00 13,00 0,70 169,00 0,49 9,10 3,05 -0,05
Сумма 384,00 27,60 - - 1 058,00 3,85 60,90 27,60 -
Среднее 32,00 2,30 - - 88,17 0,32 5,08 2,30 -
Определим параметры модели:
b=x-x(y-y)x-x²=60,901 058=0,058;
a=y-b×x=2,30-0,058×32=0,458.
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷ = 0,458 + 0,058 ×x.
Полученное уравнение парной линейной регрессии показывает, что при увеличении количества копий на 1 тыс . шт. стоимость технического обслуживания копировальных машин увеличится в среднем на 0,0576 тыс. у.е.
3) Рассчитаем линейный коэффициент корреляции.
rxy=x-x(y-y)x-x²×(y-y)²=60,901 058×3,85=0,955
Т.е. связь между изучаемыми переменными прямая (коэффициент корреляции положителен) линейная весьма высока (по шкале Чеддока 0,9 <rxy < 0,99).
Определим коэффициент детерминации:
R2=rxy2=0,9552=0,912.
Т.е. 91,2% вариации стоимости технического обслуживания копировальных машин объясняется вариацией количества копий. Остальные 8,80% приходятся на факторы, не учтенные в моделе.
4) Оценим статистическую значимость коэффициента регрессии b.
Рассчитаем дисперсию ошибки регрессии:
σu2=ei2n-m-1=0,34012-1-1=0,034.
Далее рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии b:
μb=σu2x-x²=0,0341 058=0,006.
Тогда фактическое значение t - статистики составит:
tфакт b=bμb=0,0580,006=10,161.
По таблице находим для уровня значимости по условию 1−0,95 = 0,05 и числа степеней свободы 10: t0,05;10=2,228