Отрезок проходящий через точку пересечения диагоналей

Подобные трапеции. Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то:
ax=xb
Отсюда:
x=ab
Средняя линия трапеции. Треугольник BCF равен треугольнику FDG по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства следует, что BF=FG, поэтому EF-средняя линия треугольника ABG, а тогда EF параллельна AG и:
EF=12AG=12a+b
Равновеликие трапеции . Достроим трапецию до треугольника. В силу подобия треугольников PBC,PEF,PAD имеем:
S2S2+S1=ax2
S2+2S1S2+S1=bx2
Складывая равенства, получаем:
a2x2+b2x2=2
Отсюда:
x=a2+b22
б) Известно, что для положительных чисел a и b их среднее гармоническое не больше среднего геометрического, среднее геометрическое не больше среднего арифметического, а среднее арифметическое не больше среднего квадратичного, причём равенства достигаются только в случае равенства чисел a и b:
2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22
Докажем неравенства, попарно возводя их в квадрат:
ab≥2aba+b↔ab≥4a2b2a+b2↔a+b2≥4ab↔a-b2≥0
a+b2≥ab↔a2+2ab+b24≥ab↔a2+2ab+b2≥4ab↔a-b2≥0
a2+b22≥a+b2↔a2+b22≥a2+2ab+b24↔a-b2≥0