Отображение : V V называется линейным оператором, если оно обладает следующими свойствами. 1. (x + y) = (x) + (y), т.е. образ суммы двух векторов совпадает с суммой образов этих векторов. 2. (x) = (x) – образ вектора, умноженного на число, совпадает с произведением образа этого вектора на то же число.
Решение
Проверим 1 свойство:
𝞅(х+у)=(х1+у1;x2+y2;x3+y3)=𝞅(x1+x1^2;x2+2x2;x3+3x3)=𝞅(x1+x1^2;3x2;4x3) не выполняется, следовательно, оператор нелинейный
б) 𝞅(х+у)=(x1+y1;x2+y2;x3+y3)=𝞅(x1+2x1-x2;x2+x1+2x3;x3+x3)=𝞅(3x1-x2;x1+x2+2x3;2x3) выполняется, оператор линейный
a1(1,-1,1), a2(0,0,1), a3(0,1,1)
Запишем Б2=100-1112-11
Перемножим Б2 на МБ1(𝞅):
Тогда МБ1(𝞅)=
100
-101
111
·
100
-111
2-11
=
100
1-11
202
Мб1(𝞅)= 100
1-11
2 0 2
Составим базис Б -10011011-1
𝞅(x+y)=(x1+2x2;x2+x1+x3;x3+x2-x3)=(x1+2x2;x1+x2+x3;x2)
Получили: А = 120111010
Умножим А на Б:
-1-20
231
221 = Мб
Приводим матрицу к гауссову виду и найдем ранг матрицы:
Умножим 1-ю строку на (2). Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й
0 0 -2 -3
2 2 0 1
1 1 1 2
3 3 1 3
Умножим 3-ю строку на (-2). Добавим 3-ю строку к 2-й
0 0 -2 -3
0 0 -2 -3
1 1 1 2
3 3 1 3
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 0 -2 -3
0 0 -2 -3
1 1 1 2
3 3 1 3
Умножим 3-ю строку на (3). Умножим 4-ю строку на (-1). Добавим 4-ю строку к 3-й
0 0 -2 -3
0 0 -2 -3
0 0 2 3
3 3 1 3
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 0 -2 -3
0 0 -2 -3
0 0 2 3
3 3 1 3
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 0 -2 -3
0 0 -2 -3
0 0 2 3
3 3 1 3
Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й
ker φ= (0,-2,2,1), im𝞅=(0,-3,3,3)
Запишем базис Б1 1-1-12
Запишем базис Б 2 1112
Умножим Мб1(𝞅) на транспонированную матрицу Б1:
Теперь умножим эту матрицу на Б2:
Mб2(𝞅)=
Составим базис Б1=2334
Составим базис Б2 = 1201
Умножим Мб1(𝞅) на транспонированную матрицу Б1:
Умножим Мб2(𝞅) на транспонированную матрицу Б2:
Сложим получившиеся матрицы:
=Мб1(𝞅+𝞇)
Вычтем получившиеся матрицы:
=Мб2(𝞅-𝞇)
№ 9
Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора 𝞅, если
Mб(𝞅)=120111021
Составляем систему для определения координат собственных векторов:(1 - λ)x1 + 2x2 + 0x3 = 01x1 + (1 - λ)x2 + 1x3 = 00x1 + 2x2 + (1 - λ)x3 = 0Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
1 - λ 2 0
1 1 - λ 1
0 2 1 - λ
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.(1 - λ) • ((1 - λ) • (1 - λ)-2 • 1)-1 • (2 • (1 - λ)-2 • 0)+0 • (2 • 1-(1 - λ) • 0) = 0После преобразований, получаем:-λ3+3*λ2+λ-3 = 0λ1 = 3Подставляя λ1 = 3 в систему, имеем:
1 - 3 2 0
1 1 - 3 1
0 2 1 - 3
или
-2 2 0
1 -2 1
0 2 -2
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.Выпишем основную матрицу системы:
-2 2 0
1 -2 1
0 2 -2
x1 x2 x3
Приведем матрицу к треугольному виду
. Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 2 -2
1 -2 1
-2 2 0
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 2 -2
0 -2 2
-2 2 0
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
0 -2 2
-2 2 0
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 -2 2
-2 2 0
Найдем ранг матрицы.
0 -2 2
-2 2 0
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0 -2 -2
-2 2 0
Система с коэффициентами этой матрицы имеет вид:- 2x2 = - 2x3- 2x1 + 2x2 = 0Получили общее решение:x2 = x3x1 = x3Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 3, имеет вид:(1x3,1x3,1x3) = x3(1,1,1)где x3 - любое число, отличное от нуля
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
