Оптимизация производственной программы
Задание предусматривает решение задачи по определению оптимальной программы выпуска продукции при условии достижения наибольшей прибыли от ее реализации.
Условие задачи: Предприятие выпускает четыре основных изделия P1, P2, P3, P4. Для производства перечисленных видов изделий используется сырье двух наименований – В1, В2. Величина запасов сырья задана. Кроме того, имеются трудовые ресурсы R и фонд рабочего времени оборудования Q. Размеры запасов производственных ресурсов, величина прибыли от реализации производимой продукции и нормы расхода производственных ресурсов представлены в таблицах.
Прибыль от реализации единицы продукции
Вид изделия
Р1 80
Р2 50
Р3 50
Р4 20
Требуется определить оптимальный ассортиментный план выпуска изделий, при котором предприятие получило бы максимальную прибыль.
Задание выполняется в два этапа. Первый этап предполагает оптимизацию производственной программы с учетом ограничений по производственным ресурсам; на втором этапе должны учитываться ограничения двух видов – по производственным ресурсам и по ассортименту.
После решения задачи симплекс методом необходимо проверить полученный оптимальный план на соответствие ограничительным условиям, сравнить результаты оптимизации первого и второго этапов.
Объем производственных ресурсов
Сырье Трудовые ресурсы R, чел. Фонд рабочего времени оборудования Q, станко-ч
В1 В2
470 400 600 280
Расход ресурсов на изготовление единицы изделия
Р1 Р2 Р3 Р4
Сырье вида В1 1 3 2 0
Сырье вида В2 2 2 0 1
Трудовые ресурсы 4 0 3 0
Фонд рабочего времени 1 1 0 1
Фиксированные объемы производства отдельных видов продукции
Р1 Р2 Р3 Р4
Х1 Х2 Х3 200
При проведении сравнительного анализа особое внимание должно быть уделено следующим вопросам:
Изменился ли ассортимент продукции с введением дополнительного ограничения?
Каким образом изменилась величина прибыли?
Что повлияло на увеличение и уменьшение прибыли?
Изменятся ли резервы производственных ресурсов? В каком случае они больше?
Решение
Для наглядности представим исходные данные в виде таблицы.
Сырье Виды изделий Объем производственных ресурсов
Р1 Р2 Р3 Р4
В1 1 3 2 0 470
В2 2 2 0 1 400
Трудовые ресурсы 4 0 3 0 600
Фонд рабочего времени 1 1 0 1 280
Прибыль от реализации единицы продукции 80 50 50 20
Составим математическую модель задачи. Пусть предприятие выпускает Х1 изделий Р1, Х2 изделий Р2, Х3 изделий Р3 и Х4 изделий Р4. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны, X1, X2, X3, X4, X5≥0. Прибыль от реализации такого количества изделий составит F=80X1+50X2+50X3+20X4 рублей, ее нужно максимизировать:
F=80X1+50X2+50X3+20X4→max
Теперь составим ограничения задачи.
Для изготовления изделий Р1, Р2, Р3, Р4 потребуется X1+3X2+2X3 В1 сырья, запасы которой составляют 470, поэтому X1+3X2+2X3≤470.
Для изготовления изделий Р1, Р2, Р3, Р4 потребуется 2X1+2X2+X4 В2 сырья, запасы которой составляют 400, поэтому 2X1+2X2+X4≤400.
Для изготовления изделий Р1, Р2, Р3, Р4 потребуется 4X1+3X3 трудовых ресурсов, которые составляют 600 человек, поэтому 4X1+3X3≤600.
Для изготовления изделий Р1, Р2, Р3, Р4 потребуется X1+X2+X4 фонда рабочего времени, запасы которой составляют 280 станко-ч., поэтому X1+X2+X4≤280.
Получаем задачу линейного программирования:
F=80X1+50X2+50X3+20X4→max
X1+3X2+2X3≤4702X1+2X2+X4≤4004X1+3X3≤600X1+X2+X4≤280X1, X2,X3,X4≥0
Решим задачу симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные X5, X6,X7,X8≥0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
X1+3X2+2X3+X5=4702X1+2X2+X4+X6=4004X1+3X3+X7=600X1+X2+X4+X8=280
В качестве базиса возьмем X5=470, X6=400,X7=600,X8=280.
Данные заносим в симплекс таблицу.
Симплекс таблица № 1
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 470 1 3 2 0 1 0 0 0
X6 400 2 2 0 1 0 1 0 0
X7 600 4 0 3 0 0 0 1 0
X8 280 1 1 0 1 0 0 0 1
F(X0) 0 -80 -50 -50 -20 0 0 0 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной Х1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
В качестве ведущей строки является третья строка так как в данной строке минимальное значение.
min (470/1 , 400/2 , 600/4 , 280/1 ) = 150
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 470 1 3 2 0 1 0 0 0
X6 400 2 2 0 1 0 1 0 0
X7 600 4 0 3 0 0 0 1 0
X8 280 1 1 0 1 0 0 0 1
F(X0) 0 -80 -50 -50 -20 0 0 0 0
Пересчитываем значения в симплекс-таблице
B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
470-(600 *1)/4 1-(4*1)/4 3-(0*1)/4 2-(3*1)/4 0-(0*1)/4 1-(0*1)/4 0-(0* 1)/4 0-(1* 1)/4 0-(0* 1)/4
400-(600*2)/4 2-(4*2)/4 2-(0*2)/4 0-(3*2)/4 1-(0*2)/4 0-(0*2)/4 1-(0* 2)/4 0-(1* 2)/4 0-(0* 2)/4
600/4 4/4 0/4 3/4 0/4 0/4 0/4 1/4 0/4
280-(600*1)/4 1-(4*1)/4 1-(0*1)/4 0-(3*1)/4 1-(0*1)/4 0-(0*1)/4 0-(0* 1)/4 0-(1* 1)/4 1-(0 *1)/4
0-(600*-80)/4 -80-(4*-80)/4 -50-(0*-80)/4 -50-(3*-80)/4 -20-(0*-80)/4 0-(0*-80)/4 0-(0*-80)/4 0-(1*-80)/4 0-(0*-80)/4
Получаем новую симплекс-таблицу
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 320 0 3 5/4 0 1 0 -1/4 0
X6 100 0 2 -3/2 1 0 1 -1/2 0
X1 150 1 0 3/4 0 0 0 1/4 0
X8 130 0 1 -3/4 1 0 0 -1/4 1
F(X0) 12000 0 -50 10 -20 0 0 20 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной Х2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
В качестве ведущей строки является вторая строка так как в данной строке минимальное значение.
min (320/3 , 100/2 , - , 130/1 ) = 50
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 320 0 3 5/4 0 1 0 -1/4 0
X6 100 0 2 -3/2 1 0 1 -1/2 0
X7 150 1 0 3/4 0 0 0 1/4 0
X8 130 0 1 -3/4 1 0 0 -1/4 1
F(X1) 12000 0 -50 10 -20 0 0 20 0
Пересчитываем значения в симплекс-таблице
B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
320-(100 *1)/2 0-(0*3)/2 3-(2*3)/2 11/4-(-11/2*3)/2 0-(1*3)/2 1-(0*3)/2 0-(1*3)/2 -1/4-(-1/2*3):2 0-(0* 3)/2
100/2 0/2 2/2 -11/2/2 1/ 2 0/ 2 1/2 -1/2 /2 0/ 2
1500-(100 *0)/2 1-(0*0)/2 0-(2*0)/2 3/4-(-11/2*0)/2 0-(1*0)/2 0-(0*0)/2 0-(1*0)/2 1/4-(-1/2 *0)/2 0-(0* 0)/2
130-(100 *1)/2 0-(0*1)/2 1-(2*1)/2 -3/4-(-11/2*1)/2 1-(1*1)/2 0-(0*1)/2 0-(1*1)/2 -1/4-(-1/2 *1)/2 1-(0*1)/2
12000-(100 *-50)/2 0-(0*-50)/2 -50-(2*-50)/2 10-(-11/2*-50)/2 -20-(1*-50)/2 0-(0*-50)/2 0-(1*-50)/2 20-(-1/2*-50)/2 0-(0*-50)/2
Получаем новую симплекс-таблицу
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 170 0 0 7/2 -3/2 1 -3/2 1/2 0
X2 50 0 1 -3/4 1/2 0 1/2 -1/4 0
X1 150 1 0 3/4 0 0 0 1/4 0
X8 80 0 0 0 1/2 0 -1/2 0 1
F(X2) 14500 0 0 -55/2 5 0 25 15/2 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной Х2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
В качестве ведущей строки является вторая строка так как в данной строке минимальное значение.
min (170/7/2, - , 150/3/4, - ) = 340/7
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X5 170 0 0 7/2 -3/2 1 -3/2 1/2 0
X2 50 0 1 -3/4 1/2 0 1/2 -1/4 0
X1 150 1 0 3/4 0 0 0 1/4 0
X8 80 0 0 0 1/2 0 -1/2 0 1
F(X2) 14500 0 0 -55/2 5 0 25 15/2 0
Пересчитываем значения в симплекс-таблице
B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
170 : 31/2 0 : 31/2 0 : 31/2 31/2 : 31/2 -11/2 : 31/2 1 : 31/2 -11/2 : 31/2 1/2 : 31/2 0 : 31/2
50-(170*-3/4):31/2 0-(0* -3/4):31/2 1-(0* -3/4):31/2 -3/4-(31/2* -3/4):31/2 1/2-(-11/2* -3/4):31/2 0-(1* -3/4):31/2 1/2-(-11/2* -3/4):31/2 -1/4-(1/2* -3/4):31/2 0-(0* -3/4):31/2
150-(170* 3/4):31/2 1-(0* 3/4):31/2 0-(0* 3/4):31/2 3/4-(31/2* 3/4):31/2 0-(-11/2* 3/4):31/2 0-(1* 3/4):31/2 0-(-11/2* 3/4):31/2 1/4-(1/2* 3/4):31/2 0-(0* 3/4):31/2
80-(170* 0):31/2 0-(0* 0):31/2 0-(0* 0):31/2 0-(31/2* 0):31/2 1/2-(-11/2* 0):31/2 0-(1* 0):31/2 -1/2-(-11/2 *0):31/2 0-(1/2* 0):31/2 1-(0* 0):31/2
14500-(170*-271/2):31/2 0-(0* -271/2):31/2 0-(0* -271/2):31/2 -271/2-(31/2* -271/2):31/2 5-(-11/2* -271/2):31/2 0-(1* -271/2):31/2 25-(-11/2* -271/2):31/2 71/2-(1/2* -271/2):31/2 0-(0* -271/2):31/2
Получаем новую симплекс-таблицу
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X3 340/7 0 0 1 -3/7 2/7 -3/7 1/7 0
X2 605/7 0 1 0 5/28 3/14 5/28 -1/7 0
X1 795/7 1 0 0 9/28 -3/14 9/28 1/7 0
X8 80 0 0 0 1/2 0 -1/2 0 1
F(X3) 110850/7 0 0 0 -95/14 55/7 185/14 80/7 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной Х4, так как это наибольший коэффициент по модулю.
В качестве ведущей строки является четвертая строка так как в данной строке минимальное значение.
min (-, 605/7/5/28, 795/7/9/28, 80/1/2 ) = 160
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X3 340/7 0 0 1 -3/7 2/7 -3/7 1/7 0
X2 605/7 0 1 0 5/28 3/14 5/28 -1/7 0
X1 795/7 1 0 0 9/28 -3/14 9/28 1/7 0
X8 80 0 0 0 1/2 0 -1/2 0 1
F(X2) 110850/7 0 0 0 -95/14 55/7 185/14 80/7 0
Пересчитываем значения в симплекс-таблице
B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
484/7-(80*-3/7):1/2 0-(0* -3/7):1/2 0-(0 * -3/7):1/2 1-(0* -3/7):1/2 -3/7-(1/2* -3/7):1/2 2/7-(0* -3/7):1/2 -3/7-(-1/2 *-3/7):1/2 1/7-(0* -3/7):1/2 0-(1 * -3/7):1/2
863/7-(80*5/28):1/2 0-(0 *5/28):1/2 1-(0 *5/28):1/2 0-(0 *5/28):1/2 5/28-(1/2* 5/28):1/2 3/14-(0* 5/28):1/2 5/28-(-1/2 * 5/28):1/2 -1/7-(0* 5/28):1/2 0-(1* 5/28):1/2
1134/7-(80* 9/28):1/2 1-(0* 9/28):1/2 0-(0 *9/28):1/2 0-(0* 9/28):1/2 9/28-(1/2 * 9/28):1/2 -3/14-(0* 9/28):1/2 9/28-(-1/2* 9/28):1/2 1/7-(0* 9/28):1/2 0-(1* 9/28):1/2
80 : 1/2 0 : 1/2 0 : 1/2 0 : 1/2 1/2 : 1/2 0 : 1/2 -1/2 : 1/2 0 : 1/2 1 : 1/2
158355/7-(80* -611/14):1/2 0-(0 *-611/14):1/2 0-(0 *-611/14):1/2 0-(0* -611/14):1/2 -611/14-(1/2 *-611/14):1/2 76/7-(0* -611/14):1/2 133/14-(-1/2 * -611/14):1/2 113/7-(0* -611/14):1/2 0-(1* -611/14):1/2
Получаем новую симплекс-таблицу
Базис B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
X3 820/7 0 0 1 0 2/7 -6/7 1/7 6/7
X2 405/7 0 1 0 0 3/14 5/14 -1/7 -5/14
X1 435/7 1 0 0 0 -3/14 9/14 1/7 -9/14
X4 160 0 0 0 1 0 -1 0 2
F(X3) 118450/7 0 0 0 0 55/7 45/7 80/7 95/7
Среди значений индексной строки нет отрицательных
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
