Определить значения токов ветвей и показания вольтметра в электрической цепи

Составить уравнения для цепи по первому и второму законам Кирхгофа (для исходной схемы);
Число ветвей с неизвестными токами p=6; число узлов q=4. Выбираем условно-положительные направления токов I1, I2, I3, I4, I5, I6. По первому закону Кирхгофа составляется q-1=4-1=3 уравнения:
узел a:-I1+I4+I6=0
узел b: I1-I2+I3=0
узел c: I2-I4-I5=0
В цепи p-q-1=6-4-1=3 независимых контура. Обходим контуры против часовой стрелки и с учетом выбранных направлений токов составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур I: I1R1+R01+I2R2+R02+I4R4=E1+E2
контур II: -I2R2+R02-I3R3-I5R5=-E2-E3
контур III: -I4R4+I5R5+I6R6=0
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему:
-I1+I4+I6=0aI1-I2+I3=0bI2-I4-I5=0cI1R1+R01+I2R2+R02+I4R4=E1+E2I-I2R2+R02-I3R3-I5R5=-E2-E3II-I4R4+I5R5+I6R6=0III
2) Решить задачу методом контурных токов (для исходной схемы);
Считаем, что в каждом контуре замыкается свой контурный ток II, III, IIII . Указываем их направления.
Составляем систему контурных уравнений для определения контурных токов:
IIR1+R01+R2+R02+R4-IIIR2+R02-IIIIR4=E1+E2-IIR2+R02+IIIR2+R02+R3+R5-IIIIR5=-E2-E3-IIR4-IIIR5+IIIIR4+R5+R6=0
Подставляем в полученную систему значения ЭДС и сопротивлений:
II7,8+0,2+4,7+0,3+2,5-III4,7+0,3-2,5IIII=10+8-II4,7+0,3+III4,7+0,3+6+2,5-2,5IIII=-8-6-2,5II-2,5III+IIII2,5+2,5+5=0
15,5II-5III-2,5IIII=18-5II+13,5III-2,5IIII=-14-2,5II-2,5III+10IIII=0
Записываем полученную систему в матричной форме:
15,5-5-2,5-513,5-2,5-2,5-2,510∙IIIIIIIII=18-140
Решаем систему уравнений методом Крамера. Главный определитель системы:
Δ=15,5-5-2,5-513,5-2,5-2,5-2,510=1598,75
Определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=18-5-2,5-1413,5-2,50-2,510=1530
Δ2=15,518-2,5-5-14-2,5-2,5010=-1070
Δ3=15,5-518-513,5-14-2,5-2,50=115
Определяем контурные токи:
II=Δ1Δ=15301598,75=0,957 А
III=Δ2Δ=-10701598,75=-0,669 А
IIII=Δ3Δ=1151598,75=0,072 А
Определяем действительные токи ветвей:
I1=II=0,957 А
I2=II-III=0,957--0,669=1,626 А
I3=-III=0,669 А
I4=II- IIII=0,957-0,072=0,885 А
I5=IIII- III=0,072--0,669=0,741 А
I6=IIII=0,072 А
3) Преобразовать треугольник сопротивлений R4, R5, R6 в звезду и решить задачу «методом 2-х узлов» (для преобразованной схемы);
Заменим треугольник сопротивлений эквивалентной звездой:
R45=R4∙R5R4+R5+R6=2,5∙2,52,5+2,5+5=0,625 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=2,5∙52,5+2,5+5=1,25 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=2,5∙52,5+2,5+5=1,25 Ом
Преобразованная схема:
Определяем узловое напряжение Ubn:
Ubn=E1R1+R01+R46-E2R2+R02+R45+E3R3+R561R1+R01+R46+1R2+R02+R45+1R3+R56=107,8+0,2+1,25-84,7+0,3+0,625+66+1,2517,8+0,2+1,25+14,7+0,3+0,625+16+1,25=1,148 В
Определяем токи I1, I2, I3 по закону Ома:
I1=E1-UbnR1+R01+R46=10-1,1487,8+0,2+1,25=0,957 А
I2=E2+UbnR2+R02+R45=8+1,1484,7+0,3+0,625=1,626 А
I3=E3-UbnR3+R56=6-1,1486+1,25=0,669 А
Остальные токи определяем по законам Кирхгофа:
I4=E1+E2-I1R1+R01-I2R2+R02R4=10+8-0,957∙7,8+0,2-1,626∙4,7+0,34=0,885 А
I5=I2-I4=1,626-0,885=0,741 А
I6=I5-I3=0,741-0,669=0,072 А
4) Найти показания вольтметра (для исходной схемы);
Найдем показания вольтметра по второму закону Кирхгофа:
UV-I2R2=-E3, откуда
UV=E3+I2R2=-6+1,626∙4,7=1,643 В
5) Определить баланс мощности цепи (для исходной схемы).
Суммарная мощность источников энергии:
ΣPист=E1I1+E2I2+E3I3=10∙0,957+8∙1,626+6∙0,669=26,596 Вт
Суммарная мощность потребителей энергии:
ΣPпотр=I12R1+R01+I22R2+R02+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=0,9572∙7,8+0,2+1,6262∙4,7+0,3+0,6692∙6+0,8852∙2,5+0,7412∙2,5+0,0722∙5=26,596 Вт
ΣPист=ΣPпотр
26,596 Вт=26,596 Вт
Баланс мощностей выполняется.