Определить все токи, пользуясь законами Кирхгофа, методами контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора. При использовании метода эквивалентного генератора найти ток только в цепи с резистором R4. Расчет проверить по балансу мощности.
Дано: E2=12 В; E3=13 В; R1=12 Ом; R2=30 Ом; R3=24 Ом; R4=6 Ом; R5=48 Ом; R6=12 Ом.
Решение
Схема цепи:
Задаемся положительными направлениями токов в схеме, обозначаем узлы.
Рассчитаем токи в цепи по законам Кирхгофа. В рассматриваемой схеме число узлов q=4, количество ветвей с неизвестными токами p=6.
По первому закону Кирхгофа составляется q-1=4-1=3 уравнения:
узел a: I2-I3+I5=0
узел b: -I1-I5+I6=0
узел c: I3-I4-I6=0
В цепи p-q-1=6-4-1=3 независимых контура. Обходим контуры по часовой стрелке и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур I: I1R1+I2R2-I5R5=E2
контур II: I3R3+I5R5+I6R6=E3
контур III: -I1R1+I4R4-I6R6=0
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему:
I2-I3+I5=0-I1-I5+I6=0I3-I4-I6=0I1R1+I2R2-I5R5=E2I3R3+I5R5+I6R6=E3-I1R1+I4R4-I6R6=0
Подставляем исходные данные и упрощаем систему:
I2-I3+I5=0-I1-I5+I6=0I3-I4-I6=012I1+30I2-48I5=1224I3+48I5+12I6=13-12I1+6I4-12I6=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
Токи в ветвях цепи:
I1=0,072 А
I2=0,413 А
I3=0,44 А
I4=0,341 А
I5=0,026 А
I6=0,098 А
Рассчитаем токи в цепи методом контурных токов. Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Произвольно задаем направление контурных токов.
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа):
I11R11+I22R12+I33R13=E11I11R21+I22R22+I33R23=E22I11R31+I22R32+I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров:
R11=R1+R2+R5=12+30+48=90 Ом
R22=R3+R5+R6=24+48+12=84 Ом
R33=R1+R4+R6=12+6+12=30 Ом
Определяем взаимные сопротивления контуров:
R12=R21=-R5=-48 Ом
R13=R31=-R1=-12 Ом
R23=R32=-R6=-12 Ом
Определяем алгебраические суммы ЭДС контуров:
E11=E2=12 В
E22=E3=13 В
E33=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
90I11-48I22-12I33=12-48I11+84I22-12I33=13-12I11-12I22+30I33=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
Контурные токи:
I11=0,413 А
I22=0,44 А
I33=0,341 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I11-I33=0,413-0,341=0,072 А
I2=I11=0,413 А
I3=I22=0,44 А
I4=I33=0,341 А
I5=I22-I11=0,44-0,413=0,026 А
I6=I22-I33=0,44-0,341=0,098 А
Рассчитаем токи в цепи методом узловых потенциалов.
Заземляем узел «d».
Потенциал узла «d»:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa+Gabφb+Gacφc=IaaGbaφa+Gbbφb+Gbcφc=IbbGcaφa+Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R2+1R5+1R3=130+148+124=0,096 См
Gbb=1R1+1R5+1R6=112+148+112=0,188 См
Gcc=1R3+1R4+1R6=124+16+112=0,292 См
Взаимные проводимости узлов:
Gab=Gba=-1R5=-148=-0,021 См
Gac=Gca=-1R3=-124=-0,042 См
Gbc=Gcb=-1R6=-112=-0,083 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=E2R2-E3R3=1230-1324=-0,142 А
в узле «b»: Ibb=0
в узле «c»: Icc=E3R3=1324=0,542 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,096φa-0,021-0,042φc=-0,142-0,021φa+0,188φb-0,083φc=0-0,042φa-0,083φb+0,292φc=0,542
Решаем полученную систему в ПО Mathcad:
Потенциалы узлов:
φa=-0,398 В
φb=0,857 В
φc=2,043 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φb-φdR1=0,857-012=0,072 А
I2=φd-φa+E2R2=-0,398-2,043+1230=0,413 А
I3=φa-φc+E3R3=-0,398-2,043+1324=0,44 А
I4=φc-φdR4=2,043-06=0,341 А
I5=φb-φaR5=0,857--0,39848=0,026 А
I6=φc-φbR6=2,043-0,85712=0,098 А
Рассчитаем токи в цепи методом наложения.
Выполним преобразование «треугольника» сопротивлений R1, R4 и R6 в эквивалентную «звезду» сопротивлений R14, R16 и R45.
R14=R1∙R4R1+R4+R6=12∙612+6+12=2,4 Ом
R16=R1∙R6R1+R4+R6=12∙1212+6+12=4,8 Ом
R46=R4∙R6R1+R4+R6=6∙1212+6+12=2,4 Ом
Рассчитаем составляющие токов ветвей от воздействия источника E2, считая при этом ЭДС источника E3 равной нулю.
Эквивалентное сопротивление цепи:
Rэкв'=R2+R14+R5+R16∙R3+R46R5+R16+R3+R46=30+2,4+48+4,8∙24+2,448+4,8+24+2,4=50 Ом
Определяем токи в цепи:
I2'=E2Rэкв'=1250=0,24 А
I5'=I2'∙R3+R46R5+R16+R3+R46=0,24∙24+2,448+4,8+24+2,4=0,08 А
I3'=I2'∙R5+R16R5+R16+R3+R46=0,24∙48+4,848+4,8+24+2,4=0,16 А
Рассчитаем составляющие токов ветвей от воздействия источника E3, считая при этом ЭДС источника E2 равной нулю.
Эквивалентное сопротивление цепи:
Rэкв''=R3+R46+R5+R16∙R2+R14R5+R16+R2+R46=24+2,4+48+4,8∙30+2,448+4,8+30+2,4=46,479 Ом
Определяем токи в цепи:
I3''=E3Rэкв''=1346,479=0,24 А
I5''=I3''∙R3+R46R5+R16+R3+R46=0,24∙30+2,448+4,8+30+2,4=0,106 А
I2''=I3''∙R5+R16R5+R16+R3+R46=0,24∙48+4,848+4,8+30+2,4=0,173 А
Токи ветвей определяем путем алгебраического суммирования составляющих, создаваемых каждым источником в отдельности с учетом их направления в исходной схеме и в схемах с каждым источником:
I2=I2'+I2''=0,24+0,173=0,413 А
I3=I3'+I3''=0,16+0,24=0,44 А
I5=-I5'+I5''=-0,08+0,106=0,026 А
Тока в исходной схеме определяем по законам Кирхгофа:
I1R1+I2R2-I5R5=E2, откуда
I1=E2-I2R2+I5R5R1=12-0,413∙30+0,026∙4812=0,072 А
-I1-I5+I6=0, откуда
I6=I1+I5=0,072+0,026=0,098 А
I3-I4-I6=0, откуда
I4=I3-I6=0,44-0,098=0,341 А
Определим ток в ветви с резистором R4 методом эквивалентного генератора.
Размыкаем ветвь, в которой необходимо определить ток и между разомкнутыми зажимами указывается напряжение Uхх.
По второму закону Кирхгофа:
-I1хR1-I3хR6+Uхх=0, откуда
Uхх=I1хR1+I3хR6
Заземляем узел «a», его потенциал
φa=0.
Определяем напряжение между узлами «b» и «a»:
Uba=φb-φa=-E2R1+R2+E3R3+R61R1+R2+1R3+R6+1R5=-1212+30+1324+12112+30+124+12+148=1,041 В
По закону Ома:
I1х=E2+UbaR1+R2=12+1,04112+30=0,311 А
I3х=E3-UbaR3+R6=13-1,04124+12=0,332 А
Определяем напряжение Uхх:
Uхх=I1хR1+I3хR6=0,311∙12+0,332∙12=7,712 В
Определяем входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.
Выполним преобразование «треугольника» сопротивлений R3, R5 и R6 в эквивалентную «звезду» сопротивлений R35, R36 и R56.
R35=R3∙R5R3+R5+R6=24∙4824+48+12=13,714 Ом
R36=R3∙R6R3+R5+R6=24∙1224+48+12=3,429 Ом
R56=R5∙R6R3+R5+R6=48∙1224+48+12=6,857 Ом
Эквивалентное сопротивление цепи:
Rвх=R36+R1+R56∙R2+R35R1+R56+R2+R35=3,429+12+6,857∙30+13,71412+6,857+30+13,714=16,603 Ом
Рассчитываем ток I4:
I4=UххRвх+R4=7,71216,603+6=0,341 А
Определяем суммарную мощность источников энергии:
ΣPист=E2I2+E3I3=12∙0,413+13∙0,44=10,676 Вт
Определяем суммарную мощность приемников энергии:
ΣPпр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=0,0722∙12+0,4132∙30+0,442∙24+0,3412∙6+0,0262∙48+0,0982∙12=10,676 Вт
Баланс мощностей:
ΣPист=ΣPпр
10,676=10,676
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
